東北大学 1967年 理系 第4問 解説

方針・初手

(1) については、与えられた2つの式のうち第1式 $f'(x) = -2e^{2x} \sin 2x + 2f(x)$ の形に着目する。項を移行して $f'(x) - 2f(x) = \dots$ とし、両辺に $e^{-2x}$ を掛けることで $(e^{-2x}f(x))'$ の形を作り出すのが簡明な方針である。 あるいは、第2式を積分して $f'(x)$ を求め、第1式と係数比較することでも $f(x)$ を導出できる。

(2) については、(1)で求めた $f(x)$ を微分して増減表を作成する。$f'(x)=0$ を満たす方程式を解く際、三角関数の倍角の公式を用いて式を整理し、因数分解の形に持ち込むことで符号変化を捉えやすくなる。

解法1

(1)

与えられた第1式を変形する。

$$ f'(x) - 2f(x) = -2e^{2x} \sin 2x $$

両辺に $e^{-2x}$ を掛けると、

$$ e^{-2x}f'(x) - 2e^{-2x}f(x) = -2 \sin 2x $$

左辺は積の微分公式より $\left\{e^{-2x}f(x)\right\}'$ となるため、

$$ \left\{e^{-2x}f(x)\right\}' = -2 \sin 2x $$

両辺を $x$ について積分する。

$$ e^{-2x}f(x) = \int -2 \sin 2x \, dx = \cos 2x + C \quad (C \text{ は積分定数}) $$

よって、

$$ f(x) = e^{2x} \cos 2x + C e^{2x} $$

次に、$f(x)$ を2階微分して第2式と比較し、定数 $C$ を定める。

$$ f'(x) = 2e^{2x} \cos 2x - 2e^{2x} \sin 2x + 2C e^{2x} $$

$$ \begin{aligned} f''(x) &= 4e^{2x} \cos 2x - 4e^{2x} \sin 2x - 4e^{2x} \sin 2x - 4e^{2x} \cos 2x + 4C e^{2x} \\ &= -8e^{2x} \sin 2x + 4C e^{2x} \end{aligned} $$

与えられた第2式 $f''(x) = -8e^{2x} \sin 2x + 4e^{2x}$ と比較すると、

$$ 4C = 4 \iff C = 1 $$

したがって、求める関数 $f(x)$ は

$$ f(x) = e^{2x} \cos 2x + e^{2x} = e^{2x}(\cos 2x + 1) $$

(2)

(1)より、$f(x) = e^{2x}(\cos 2x + 1)$ である。 半角の公式 $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ を用いると、$f(x) = 2e^{2x}\cos^2 x$ と表せる。

$f(x)$ を微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 2e^{2x}(\cos 2x + 1) + e^{2x}(-2\sin 2x) \\ &= 2e^{2x}(\cos 2x - \sin 2x + 1) \end{aligned} $$

ここでカッコ内を変形する。2倍角の公式 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ と $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ を用いると、

$$ \begin{aligned} \cos 2x - \sin 2x + 1 &= (2\cos^2 x - 1) - 2\sin x \cos x + 1 \\ &= 2\cos^2 x - 2\sin x \cos x \\ &= 2\cos x(\cos x - \sin x) \end{aligned} $$

したがって、

$$ f'(x) = 4e^{2x}\cos x(\cos x - \sin x) $$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の条件は、$e^{2x} > 0$ であるため、

$$ \cos x = 0 \quad \text{または} \quad \cos x - \sin x = 0 $$

$-\pi < x < \pi$ の範囲でこれらを解く。

$\cos x = 0$ のとき、

$$ x = -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} $$

$\cos x - \sin x = 0$ すなわち $\tan x = 1$ のとき、

$$ x = -\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4} $$

これらの $x$ の値に対する $f(x)$ の増減を調べるため、$y = \cos x$ と $y = \cos x - \sin x = \sqrt{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ の符号を考えると、以下の増減表が得られる。

$x$	$(-\pi)$	$\cdots$	$-\frac{3\pi}{4}$	$\cdots$	$-\frac{\pi}{2}$	$\cdots$	$\frac{\pi}{4}$	$\cdots$	$\frac{\pi}{2}$	$\cdots$	$(\pi)$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

極値をとる点での $f(x) = 2e^{2x}\cos^2 x$ の値を計算する。

極大値について：

$x = -\frac{3\pi}{4}$ のとき、$\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ より、

$$ f\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = 2e^{-\frac{3\pi}{2}} \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = e^{-\frac{3\pi}{2}} $$

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、

$$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2e^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = e^{\frac{\pi}{2}} $$

極小値について：

$x = -\frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$ より、

$$ f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 $$

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ より、

$$ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $$

解法2

(1) について、第2式を積分する別解を示す。

第2式 $f''(x) = -8e^{2x} \sin 2x + 4e^{2x}$ を積分して $f'(x)$ を求める。

$$ f'(x) = \int (-8e^{2x} \sin 2x + 4e^{2x}) \, dx $$

ここで $\int e^{2x} \sin 2x \, dx$ を部分積分を用いて計算する。

$$ \begin{aligned} \int e^{2x} \sin 2x \, dx &= \frac{1}{2}e^{2x} \sin 2x - \int \frac{1}{2}e^{2x} \cdot 2\cos 2x \, dx \\ &= \frac{1}{2}e^{2x} \sin 2x - \int e^{2x} \cos 2x \, dx \\ &= \frac{1}{2}e^{2x} \sin 2x - \left( \frac{1}{2}e^{2x} \cos 2x - \int \frac{1}{2}e^{2x} \cdot (-2\sin 2x) \, dx \right) \\ &= \frac{1}{2}e^{2x} \sin 2x - \frac{1}{2}e^{2x} \cos 2x - \int e^{2x} \sin 2x \, dx \end{aligned} $$

これを整理して、

$$ 2 \int e^{2x} \sin 2x \, dx = \frac{1}{2}e^{2x}(\sin 2x - \cos 2x) + C_1 $$

$$ \int e^{2x} \sin 2x \, dx = \frac{1}{4}e^{2x}(\sin 2x - \cos 2x) + C_2 \quad (C_1, C_2 \text{ は積分定数}) $$

この結果を $f'(x)$ の式に代入する。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= -8\left\{ \frac{1}{4}e^{2x}(\sin 2x - \cos 2x) \right\} + 2e^{2x} + C \\ &= -2e^{2x}\sin 2x + 2e^{2x}\cos 2x + 2e^{2x} + C \quad (C \text{ は積分定数}) \end{aligned} $$

これと第1式 $f'(x) = -2e^{2x} \sin 2x + 2f(x)$ を比較すると、

$$ -2e^{2x}\sin 2x + 2e^{2x}\cos 2x + 2e^{2x} + C = -2e^{2x} \sin 2x + 2f(x) $$

整理して $f(x)$ について解くと、

$$ f(x) = e^{2x}\cos 2x + e^{2x} + \frac{C}{2} $$

この $f(x)$ を微分して、求めた $f'(x)$ と一致するか確認し、定数 $C$ を定める。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 2e^{2x}\cos 2x + e^{2x}(-2\sin 2x) + 2e^{2x} \\ &= -2e^{2x}\sin 2x + 2e^{2x}\cos 2x + 2e^{2x} \end{aligned} $$

これが先に求めた $f'(x)$ と一致するためには $C = 0$ であればよい。 したがって、

$$ f(x) = e^{2x}\cos 2x + e^{2x} = e^{2x}(\cos 2x + 1) $$

解説

(1)は、微分方程式 $y' - ay = Q(x)$ を解く際に積分因子 $e^{-ax}$ を両辺に掛けるという典型手法を知っていると、解法1のように計算量を大幅に減らすことができる。(2)の極値判定では、導関数 $f'(x)$ を積の形に因数分解し、それぞれの因子の符号変化を個別に調べて統合することで、複雑な関数であっても増減の様子を正確に把握することができる。

答え

(1) $$ f(x) = e^{2x}(\cos 2x + 1) $$

(2) 極大値: $e^{-\frac{3\pi}{2}}$ $\left(x = -\frac{3\pi}{4} \text{ のとき}\right)$, $e^{\frac{\pi}{2}}$ $\left(x = \frac{\pi}{4} \text{ のとき}\right)$ 極小値: $0$ $\left(x = \pm\frac{\pi}{2} \text{ のとき}\right)$