東京大学 1974年 理系 第4問 解説

方針・初手

微分係数の定義を用いて、条件4)の極限の式を $f'(0), g'(0)$ に関する方程式に帰着させる。条件3)の直交条件から $f'(0)g'(0) = -1$ となることを利用し、2次方程式の解と係数の関係を用いて $a$ の値を求める。

解法1

条件1), 2)より、$f(x), g(x)$ は $x=0$ で微分可能であり、$f(0)=g(0)=0$ である。微分係数の定義より、

$$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = f'(0) $$

$$ \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)-g(0)}{x-0} = g'(0) $$

が成り立つ。以下、$f'(0) = \alpha$, $g'(0) = \beta$ とおく。

条件3)より、原点における $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の接線は直交するので、その傾きの積は $-1$ である。よって、

$$ \alpha \beta = -1 $$

が成り立つ。

条件4)の極限について考える。$x \to 0$ において $x \neq 0$ として分母・分子を $x$ で割ると、

$$ \lim_{x \to 0} \frac{ax + bf(x)}{cx + f(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{a + b \frac{f(x)}{x}}{c + \frac{f(x)}{x}} $$

となる。ここで、「実数 $a, b, c$ を適当に取ると成り立つ」という条件から、分母の極限 $c + \alpha$ が $0$ にならないような実数 $c$ がとられているとしてよい（$\alpha \neq \beta$ であるため、$c+\alpha$ と $c+\beta$ が同時に $0$ になることはなく、そのような $c$ は必ず存在する）。このとき、極限値は次のように計算できる。

$$ \lim_{x \to 0} \frac{a + b \frac{f(x)}{x}}{c + \frac{f(x)}{x}} = \frac{a + b\alpha}{c + \alpha} $$

条件4)より、これが $f'(0) = \alpha$ に等しいので、

$$ \alpha = \frac{a + b\alpha}{c + \alpha} $$

分母を払って整理すると、

$$ \alpha(c + \alpha) = a + b\alpha $$

$$ \alpha^2 + (c-b)\alpha - a = 0 $$

同様に、$g(x)$ についても極限を計算し、$g'(0) = \beta$ に等しいとおくと、

$$ \beta^2 + (c-b)\beta - a = 0 $$

が得られる。

これら2つの式から、$\alpha$ と $\beta$ は $t$ についての2次方程式

$$ t^2 + (c-b)t - a = 0 $$

の解であることがわかる。 $\alpha \beta = -1$ より $\alpha \neq \beta$ であるから、この2次方程式は異なる2つの実数解 $\alpha, \beta$ を持つ。

解と係数の関係より、2つの解の積について

$$ \alpha \beta = -a $$

が成り立つ。直交条件 $\alpha \beta = -1$ を代入すると、

$$ -1 = -a $$

よって、

$$ a = 1 $$

を得る。

解説

微分係数の定義 $\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x} = f'(0)$ を用いて、与えられた極限の式を $f'(0)$ の式に書き換えるのが最大のポイントである。その際、分母分子を $x$ で割るという定石の式変形が有効になる。 また、2つの値 $f'(0), g'(0)$ が同じ形の方程式を満たすことから、それらを解とする2次方程式を構成し、解と係数の関係に結びつけるという流れは、入試数学における頻出の処理である。

答え

$a = 1$