東北大学 1975年 理系 第5問 解説

方針・初手

曲線上の点 $P$ の座標を $(x, y)$ とおき、与えられた図形的な条件から微分方程式を立てる。条件(a)から、接線と $x$ 軸の交点 $T$ の座標が $x$ を用いて表せるため、これを利用して接線の傾き $\frac{dy}{dx}$ を求めることができる。得られた変数分離形の微分方程式を解いて曲線の式を求め、条件(b)を用いて積分定数を決定する。

解法1

曲線 $C$ は第1象限にあるので、その上の任意の点 $P$ の座標を $(x, y)$ とおくと、$x > 0$ かつ $y > 0$ である。

点 $P$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足 $M$ の座標は $(x, 0)$ となる。

また、点 $P$ における接線が $x$ 軸と交わる点 $T$ の $x$ 座標を $x_T$ とすると、$T$ の座標は $(x_T, 0)$ である。

条件(a)より、点 $M$ は原点 $O(0, 0)$ と点 $T(x_T, 0)$ の中点であるから、

$$x = \frac{0 + x_T}{2}$$

よって、$x_T = 2x$ となり、点 $T$ の座標は $(2x, 0)$ である。

点 $P$ における接線は 2点 $P(x, y)$ と $T(2x, 0)$ を通る直線であるから、その傾き $\frac{dy}{dx}$ は

$$\frac{dy}{dx} = \frac{0 - y}{2x - x} = -\frac{y}{x}$$

と表される。これを変数分離形として解く。

$$\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$$

両辺を積分して、

$$\log |y| = -\log |x| + C \quad (C\text{ は積分定数})$$

$x > 0, y > 0$ であるから、絶対値記号をそのまま外すことができる。

$$\log y = -\log x + C$$

$$y = e^{-\log x + C} = e^C \cdot \frac{1}{x}$$

$k = e^C$ とおくと、$k > 0$ であり、曲線 $C$ の方程式は

$$y = \frac{k}{x}$$

となる。

次に、条件(b)について考える。線分 $PT$ の長さの2乗 $PT^2$ は、

$$PT^2 = (2x - x)^2 + (0 - y)^2 = x^2 + y^2$$

これに $y = \frac{k}{x}$ を代入すると、

$$PT^2 = x^2 + \frac{k^2}{x^2}$$

$x > 0, k > 0$ より $x^2 > 0, \frac{k^2}{x^2} > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$x^2 + \frac{k^2}{x^2} \geqq 2\sqrt{x^2 \cdot \frac{k^2}{x^2}} = 2k$$

等号が成立するのは、$x^2 = \frac{k^2}{x^2}$ すなわち $x^4 = k^2$ のときである。$x > 0, k > 0$ であるから、$x = \sqrt{k}$ のときに等号が成立し、最小値をとる。

よって、$PT$ の長さの最小値は $\sqrt{2k}$ である。

条件(b)より、この最小値が $2$ であるから、

$$\sqrt{2k} = 2$$

両辺を2乗して、

$$2k = 4$$

$$k = 2$$

これは $k > 0$ を満たす。

以上より、求める曲線 $C$ の方程式は $y = \frac{2}{x} \quad (x > 0)$ である。

解説

図形的な条件を微分方程式に翻訳し、曲線の概形を決定する典型的な問題である。条件(a)から接線が通る2点の座標が容易にわかるため、そこから接線の傾き $\frac{dy}{dx}$ を求め、変数分離形の微分方程式を立てるのが自然な流れである。接線の方程式を $Y - y = y'(X - x)$ として $X$ 切片を求めることでも同じ結果が得られるが、2点の座標から直接傾きを計算する方が簡潔である。

条件(b)においては、距離の2乗が $x^2 + \frac{k^2}{x^2}$ という形になるため、相加平均と相乗平均の大小関係を利用して最小値を求めるのが定石である。ここで、各項が正であることの確認と、等号成立条件の確認を忘れないようにしたい。また、曲線が第1象限にあることから、定義域と値域が正である条件を用いることで、絶対値の処理が簡略化される点にも注意する。

答え

$$y = \frac{2}{x} \quad (x > 0)$$