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大阪大学 1976年理系第3問解説

方針・初手

曲線外から引いた接線（本問では曲線上の点から自身と異なる接点へ引いた接線を含む）の方程式を求めるため、まずは接点の $x$ 座標を $t$ とおいて接線の方程式を立式する。その接線が点 $P$ を通るという条件から $t$ の方程式を導き、2本の接線の傾きを求める。 2直線のなす角 $\theta$ を扱う手段として、「傾きと正接の加法定理を用いる方法」と「2直線の方向ベクトルの内積を用いる方法」の2つが考えられる。本問は（2）で $\tan\theta$ を扱うため、初めから加法定理を用いて $\tan\theta$ を求める方針が自然である。

解法1

曲線 $y = x^3$ について $y' = 3x^2$ である。曲線上の点 $Q(t, t^3)$ における接線の方程式は、

$$ Y - t^3 = 3t^2(X - t) \iff Y = 3t^2 X - 2t^3 $$

この接線が点 $P(x, x^3)$ を通るので、

$$ x^3 = 3t^2 x - 2t^3 $$

整理すると、

$$ 2t^3 - 3xt^2 + x^3 = 0 $$

$$ (t - x)^2(2t + x) = 0 $$

よって、$t = x, -\frac{x}{2}$ を得る。 $x > 0$ よりこれらは異なる実数であり、接線は2本存在する。これらの接線の傾きを $m_1, m_2$（$m_1 > m_2$）とすると、

$$ m_1 = 3x^2, \quad m_2 = 3\left(-\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}x^2 $$

(1)

2本の接線が $X$ 軸の正の向きとなす角をそれぞれ $\alpha, \beta$ $\left(0 < \beta < \alpha < \frac{\pi}{2}\right)$ とすると、

$$ \tan\alpha = 3x^2, \quad \tan\beta = \frac{3}{4}x^2 $$

2接線のなす角 $\theta$ は $\theta = \alpha - \beta$ と表せるため、正接の加法定理より、

$$ \tan\theta = \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} = \frac{3x^2 - \frac{3}{4}x^2}{1 + 3x^2 \cdot \frac{3}{4}x^2} = \frac{9x^2}{4 + 9x^4} $$

三角関数の相互関係 $1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$ より、

$$ \frac{1}{\cos^2\theta} = 1 + \left( \frac{9x^2}{4+9x^4} \right)^2 = \frac{(4+9x^4)^2 + 81x^4}{(4+9x^4)^2} = \frac{16 + 153x^4 + 81x^8}{(4+9x^4)^2} $$

分子は $(1+9x^4)(16+9x^4)$ と因数分解できるため、

$$ \cos^2\theta = \frac{(4+9x^4)^2}{(1+9x^4)(16+9x^4)} $$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\cos\theta > 0$ であり、$x>0$ より $4+9x^4 > 0$ であるから、

$$ \cos\theta = \frac{4+9x^4}{\sqrt{(1+9x^4)(16+9x^4)}} $$

(2)

（1）より、

$$ \tan\theta = \frac{9x^2}{4+9x^4} $$

$x>0$ より $x^2 > 0$ であるから、分母と分子を $x^2$ で割ると、

$$ \tan\theta = \frac{9}{\frac{4}{x^2} + 9x^2} $$

分母において、$\frac{4}{x^2} > 0, 9x^2 > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$ \frac{4}{x^2} + 9x^2 \geqq 2\sqrt{ \frac{4}{x^2} \cdot 9x^2 } = 2\sqrt{36} = 12 $$

等号が成立するのは $\frac{4}{x^2} = 9x^2$ のときである。

$$ x^4 = \frac{4}{9} $$

$x > 0$ より $x^2 = \frac{2}{3}$、すなわち $x = \frac{\sqrt{6}}{3}$ のとき等号が成立し、このとき分母は最小値 $12$ をとる。したがって、$\tan\theta$ が最大となる $x$ の値は $x = \frac{\sqrt{6}}{3}$ である。

解法2

(1)の別解：ベクトルを用いた方法

解法1と同様にして、接点の $X$ 座標は $t = x, -\frac{x}{2}$ である。 $t = x$ のときの接線 $l_1$ の方程式は、

$$ Y = 3x^2 X - 2x^3 $$

$t = -\frac{x}{2}$ のときの接線 $l_2$ の方程式は、

$$ Y = \frac{3}{4}x^2 X + \frac{1}{4}x^3 $$

これらの接線と $X$ 軸（$Y=0$）との交点をそれぞれ求める。 $l_1$ について、$3x^2 X - 2x^3 = 0$ より $X = \frac{2}{3}x$ $l_2$ について、$\frac{3}{4}x^2 X + \frac{1}{4}x^3 = 0$ より $X = -\frac{1}{3}x$ よって、交点 $A, B$ の座標は順不同で $\left(\frac{2}{3}x, 0\right), \left(-\frac{1}{3}x, 0\right)$ である。 $P(x, x^3)$ より、2つのベクトル $\vec{PA}, \vec{PB}$ の成分は、

$$ \vec{PA} = \left( \frac{2}{3}x - x, 0 - x^3 \right) = \left( -\frac{1}{3}x, -x^3 \right) $$

$$ \vec{PB} = \left( -\frac{1}{3}x - x, 0 - x^3 \right) = \left( -\frac{4}{3}x, -x^3 \right) $$

これらの内積は、

$$ \vec{PA} \cdot \vec{PB} = \left(-\frac{1}{3}x\right)\left(-\frac{4}{3}x\right) + (-x^3)(-x^3) = \frac{4}{9}x^2 + x^6 = \frac{x^2(4+9x^4)}{9} $$

また、それぞれの大きさは $x>0$ に注意して、

$$ |\vec{PA}| = \sqrt{ \left(-\frac{1}{3}x\right)^2 + (-x^3)^2 } = \sqrt{\frac{1}{9}x^2 + x^6} = \frac{x\sqrt{1+9x^4}}{3} $$

$$ |\vec{PB}| = \sqrt{ \left(-\frac{4}{3}x\right)^2 + (-x^3)^2 } = \sqrt{\frac{16}{9}x^2 + x^6} = \frac{x\sqrt{16+9x^4}}{3} $$

したがって、$\cos\theta$ の値は、

$$ \cos\theta = \frac{\vec{PA} \cdot \vec{PB}}{|\vec{PA}||\vec{PB}|} = \frac{ \frac{x^2(4+9x^4)}{9} }{ \frac{x^2\sqrt{(1+9x^4)(16+9x^4)}}{9} } = \frac{4+9x^4}{\sqrt{(1+9x^4)(16+9x^4)}} $$

解説

接線の方程式の基本、2直線のなす角の処理、分数関数の最大最小といった標準的な手法を組み合わせた問題である。 2直線のなす角を求める定石として「正接の加法定理を用いる」方法と「ベクトルの内積を用いる」方法がある。今回は（2）で $\tan\theta$ を扱うため、加法定理経由の解法が計算の見通しを良くする。（2）の分数関数の最大化では、分母分子を $x^2$ で割ることで「相加平均と相乗平均の大小関係」を利用できる基本的な形に帰着する。微分を用いて増減を調べることも可能だが、式の形から相加・相乗平均を利用する方が計算負担が少ない。