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東北大学 1979年理系第1問解説

方針・初手

平面の方程式は、その平面内の2本の方向ベクトルを求めて法線ベクトルを作れば決まる。

したがって、まず $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ を求め、その外積から法線ベクトルを出す。

また、原点から平面に下ろした垂線の足 $D$ は、平面の法線ベクトルの方向上にあるので、$\overrightarrow{OD}$ は法線ベクトルに平行であることを用いる。

解法1

(1) 平面の方程式を求める。

点 $A(2,0,2)$、$B(2,2,1)$、$C(0,0,3)$ より、

$$ \overrightarrow{AB}=(0,2,-1),\quad \overrightarrow{AC}=(-2,0,1) $$

である。

したがって、この平面の法線ベクトル $\boldsymbol{n}$ は

$$ \boldsymbol{n} = \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix} =(2,2,4) $$

となる。よって、法線ベクトルとして $(1,1,2)$ をとればよい。

したがって、求める平面の方程式は、点 $A(2,0,2)$ を通ることから

$$ 1(x-2)+1(y-0)+2(z-2)=0 $$

すなわち

$$ x+y+2z=6 $$

である。

(2) 原点 $O$ からこの平面に下ろした垂線の足を $D$ とする。

$\overrightarrow{OD}$ は平面の法線ベクトル $(1,1,2)$ に平行であるから、ある実数 $t$ を用いて

$$ D=(t,t,2t) $$

とおける。

この点が平面 $x+y+2z=6$ 上にあるので、

$$ t+t+2(2t)=6 $$

より

$$ 6t=6 $$

したがって

$$ t=1 $$

である。よって

$$ D=(1,1,2) $$

となる。

次に、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OD}$ のなす角を $\theta$ とする。

$$ \overrightarrow{OA}=(2,0,2),\quad \overrightarrow{OD}=(1,1,2) $$

であるから、内積は

$$ \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OD} = 2\cdot 1+0\cdot 1+2\cdot 2 =6 $$

また、それぞれの大きさは

$$ |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{2^2+0^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} $$

$$ |\overrightarrow{OD}|=\sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt{6} $$

である。

したがって、

$$ \cos\theta =\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OD}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OD}|} =\frac{6}{(2\sqrt{2})(\sqrt{6})} =\frac{6}{4\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{3}}{2} $$

よって

$$ \theta=\frac{\pi}{6} $$

である。