名古屋大学 1984年 理系 第2問 解説

方針・初手

空間の直線の方程式（ベクトル方程式）を用いて、直線 $PA$、$PB$ と $xy$ 平面の交点 $C$、$D$ の座標をそれぞれ求める。その後、$\triangle OCD$ が正三角形になるための条件を、辺の長さについての等式 $OC=OD=CD$ として立式する。

解法1

点 $C$ は直線 $PA$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて次のように表せる。

$$ \vec{OC} = \vec{OP} + s\vec{PA} $$

$P(a, b, 2)$、$A(1, 0, 1)$ より $\vec{PA} = (1-a, -b, -1)$ であるから、

$$ \vec{OC} = (a, b, 2) + s(1-a, -b, -1) = (a + s(1-a), b - sb, 2 - s) $$

点 $C$ は $xy$ 平面上の点であるから、$z$ 座標は $0$ である。したがって、

$$ 2 - s = 0 \iff s = 2 $$

これを代入して点 $C$ の座標を求めると、

$$ \vec{OC} = (a + 2(1-a), b - 2b, 0) = (2-a, -b, 0) $$

すなわち、$C(2-a, -b, 0)$ となる。

同様に、点 $D$ は直線 $PB$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて $\vec{OD} = \vec{OP} + t\vec{PB}$ と表せる。 $B(1, 1, 1)$ より $\vec{PB} = (1-a, 1-b, -1)$ であるから、

$$ \vec{OD} = (a, b, 2) + t(1-a, 1-b, -1) = (a + t(1-a), b + t(1-b), 2 - t) $$

点 $D$ も $xy$ 平面上の点であるから、$z$ 座標は $0$ となり、$2 - t = 0$ より $t = 2$ を得る。 これを代入して点 $D$ の座標を求めると、

$$ \vec{OD} = (a + 2(1-a), b + 2(1-b), 0) = (2-a, 2-b, 0) $$

すなわち、$D(2-a, 2-b, 0)$ となる。

次に、$\triangle OCD$ が正三角形となる条件を考える。点 $C, D$ 間の距離 $CD$ は、

$$ \vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = (2-a, 2-b, 0) - (2-a, -b, 0) = (0, 2, 0) $$

より、$CD = 2$ である。 したがって、$\triangle OCD$ が正三角形となるための条件は $OC = OD = CD = 2$ である。 これを $OC^2 = 4$ かつ $OD^2 = 4$ として立式すると、

$$ \begin{cases} (2-a)^2 + (-b)^2 = 4 & \cdots \text{①} \\ (2-a)^2 + (2-b)^2 = 4 & \cdots \text{②} \end{cases} $$

② $-$ ① より、

$$ (2-b)^2 - b^2 = 0 $$

展開して整理すると、

$$ 4 - 4b + b^2 - b^2 = 0 \iff 4b = 4 \iff b = 1 $$

これを①に代入すると、

$$ (2-a)^2 + 1 = 4 $$

$$ (2-a)^2 = 3 $$

$$ 2 - a = \pm \sqrt{3} $$

$$ a = 2 \mp \sqrt{3} $$

以上より、求める $a, b$ の値は $a = 2 \pm \sqrt{3}, b = 1$ である。

解説

空間座標における直線の扱い方と、平面との交点の求め方を問う基本的な問題である。ベクトルを用いて処理するのが定石だが、$z$ 座標に注目して幾何的に解釈することもできる。

点 $P$ の $z$ 座標が $2$、点 $A, B$ の $z$ 座標がともに $1$ であり、求める交点 $C, D$ が $xy$ 平面（$z=0$）上にある。このことから、$z$ 座標が $2 \to 1 \to 0$ と等間隔で変化しているため、点 $A$ は線分 $PC$ の中点、点 $B$ は線分 $PD$ の中点であることがすぐに分かる。 この図形的な性質を利用すれば、中点の公式から直ちに $C(2-a, -b, 0)$、$D(2-a, 2-b, 0)$ を求めることもでき、計算の手間をいくらか省くことができる。

答え

$$ a = 2 \pm \sqrt{3}, \quad b = 1 $$