東北大学 1979年 理系 第4問 解説

方針・初手

曲線 $C$ は

$$ x=3t^2+2,\quad y=2t^3 \qquad (t\geqq 0) $$

と媒介変数表示すると扱いやすい。実際，

$$ t=\sqrt{\frac{x-2}{3}} $$

とおけば与式 $y=2\left(\dfrac{x-2}{3}\right)^{3/2}$ は上の形になる。

この表示を用いると，弧長も接線も簡潔に計算できる。また，曲線 $C'$ も

$$ x=s^2,\quad y=-2s \qquad (s\geqq 0) $$

とおけるので，接線と $C'$ の交点も求めやすい。

解法1

点 $P(a,b)$ が $C$ 上にあるとする。これに対応する媒介変数を $t$ とすると，

$$ P=(3t^2+2,\ 2t^3) $$

である。

点 $A(2,0)$ は $t=0$ に対応する。

まず，$C$ の弧長を求める。

$$ \frac{dx}{dt}=6t,\qquad \frac{dy}{dt}=6t^2 $$

より，弧長要素は

$$ ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2},dt =\sqrt{36t^2+36t^4},dt =6t\sqrt{1+t^2},dt $$

となる。したがって，$A$ から $P$ までの弧の長さ $l$ は

$$ l=\int_0^t 6u\sqrt{1+u^2},du $$

である。ここで積分変数を $u$ に変えた。

$$ \int 6u\sqrt{1+u^2},du=2(1+u^2)^{3/2} $$

であるから，

$$ l=\left[2(1+u^2)^{3/2}\right]_0^t =2(1+t^2)^{3/2}-2 $$

となる。

次に，点 $P$ における $C$ の接線を求める。

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{6t^2}{6t}=t $$

より，点 $P(3t^2+2,2t^3)$ における接線は

$$ y-2t^3=t\{x-(3t^2+2)\} $$

すなわち

$$ y=tx-t^3-2t $$

である。

一方，曲線 $C'$ を

$$ x=s^2,\quad y=-2s \qquad (s\geqq 0) $$

とおく。接線と $C'$ の交点 $Q$ は，この $(x,y)=(s^2,-2s)$ を接線の式に代入して求まる。

$$ -2s=ts^2-t^3-2t $$

整理すると，

$$ ts^2+2s-t^3-2t=0 $$

である。これを因数分解すると，

$$ t(s^2-t^2)+2(s-t)=0 $$

すなわち

$$ (s-t){t(s+t)+2}=0 $$

となる。ここで $t\geqq 0,\ s\geqq 0$ なので $t(s+t)+2>0$ である。よって

$$ s=t $$

であり，

$$ Q=(t^2,-2t) $$

と分かる。

したがって，

$$ \overrightarrow{PQ} =(t^2-(3t^2+2),\ -2t-2t^3) =(-2t^2-2,\ -2t-2t^3) $$

であるから，

$$ PQ=\sqrt{(2t^2+2)^2+(2t+2t^3)^2} $$

$$ =\sqrt{4(1+t^2)^2+4t^2(1+t^2)^2} $$

$$ =\sqrt{4(1+t^2)^3} =2(1+t^2)^{3/2} $$

となる。

ゆえに，

$$ PQ-l =2(1+t^2)^{3/2}-{2(1+t^2)^{3/2}-2} =2 $$

である。

解説

この問題の本質は，曲線 $C$ を

$$ x=3t^2+2,\quad y=2t^3 $$

と媒介変数表示することである。これにより，弧長計算では $\sqrt{1+t^2}$ が自然に現れ，また接線の傾きも $\dfrac{dy}{dx}=t$ と極めて簡潔になる。

さらに，$C'$ も

$$ x=s^2,\quad y=-2s $$

と表せるため，接線との交点条件が因数分解でき，$Q=(t^2,-2t)$ がすぐに得られる。すると $PQ$ と弧長 $l$ がともに $(1+t^2)^{3/2}$ を含む形になり，差が一定値 $2$ になることが分かる。

答え

$P=(3t^2+2,\ 2t^3)\ (t\geqq 0)$ とおくと，

$$ l=2(1+t^2)^{3/2}-2 $$

である。

また，

$$ PQ=2(1+t^2)^{3/2} $$

より，

$$ PQ-l=2 $$

である。