東北大学 1980年 理系 第6問 解説

方針・初手

与えられた面積の条件を数式で表現することが第一歩となる。 接点の $x$ 座標と積分変数を明確に区別するため、積分変数を $t$ とし、接点を $(x, f(x))$ として立式する。その後、得られた定積分の等式の両辺を $x$ で微分することで、関数 $f(x)$ に関する微分方程式を導く。

解法1

曲線 $C : y = f(x)$ 上の点 $(x, f(x))$ ($x > 0$) における接線を $l$ とする。 積分変数を $t$ とすると、接線 $l$ の方程式は次のように表される。

$$y = f'(x)(t - x) + f(x)$$

条件 $f''(x) > 0$ より、曲線 $C$ は区間 $x > 0$ で下に凸である。 したがって、曲線 $C$ は接線 $l$ より上側（または一致）にあるため、$0 \leqq t \leqq x$ において以下が成り立つ。

$$f(t) \geqq f'(x)(t - x) + f(x)$$

曲線 $C$、接線 $l$、および $y$ 軸（$t = 0$）で囲まれた部分の面積が $x^3 e^x$ であるから、次の方程式を得る。

$$\int_{0}^{x} \left\{ f(t) - \left( f'(x)(t - x) + f(x) \right) \right\} dt = x^3 e^x$$

左辺の定積分を整理する。

$$\int_{0}^{x} f(t) dt - \int_{0}^{x} \left( f'(x)(t - x) + f(x) \right) dt = x^3 e^x$$

第2項の積分を計算すると、以下のようになる。

$$\int_{0}^{x} \left( f'(x)(t - x) + f(x) \right) dt = \left[ \frac{1}{2} f'(x)(t - x)^2 + f(x)t \right]_{0}^{x}$$

$$= x f(x) - \frac{1}{2} x^2 f'(x)$$

これをもとの式に代入する。

$$\int_{0}^{x} f(t) dt - x f(x) + \frac{1}{2} x^2 f'(x) = x^3 e^x$$

この両辺を $x$ で微分する。

$$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} f(t) dt - \frac{d}{dx} \left( x f(x) \right) + \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} x^2 f'(x) \right) = \frac{d}{dx} \left( x^3 e^x \right)$$

左辺の各項の微分は以下のようになる。

$$f(x) - \left( f(x) + x f'(x) \right) + \left( x f'(x) + \frac{1}{2} x^2 f''(x) \right) = \frac{1}{2} x^2 f''(x)$$

右辺の微分は積の微分法を用いる。

$$3x^2 e^x + x^3 e^x = x^2(x + 3)e^x$$

したがって、次の方程式が得られる。

$$\frac{1}{2} x^2 f''(x) = x^2(x + 3)e^x$$

$x > 0$ であるから、両辺を $\frac{1}{2} x^2$ で割ることができる。

$$f''(x) = 2(x + 3)e^x$$

この結果は、問題の条件である $f''(x) > 0$ ($x > 0$) を満たしている。 次に、両辺を $x$ について積分して $f'(x)$ を求める。部分積分法を用いる。

$$f'(x) = \int 2(x + 3)e^x dx$$

$$= 2(x + 3)e^x - \int 2e^x dx$$

$$= 2(x + 3)e^x - 2e^x + C_1$$

$$= 2(x + 2)e^x + C_1 \quad (C_1 \text{ は積分定数})$$

条件 $f'(1) = 0$ を代入する。

$$2(1 + 2)e^1 + C_1 = 0$$

$$6e + C_1 = 0$$

$$C_1 = -6e$$

よって、$f'(x)$ は次のように定まる。

$$f'(x) = 2(x + 2)e^x - 6e$$

さらに両辺を $x$ について積分して $f(x)$ を求める。再度部分積分法を用いる。

$$f(x) = \int \left( 2(x + 2)e^x - 6e \right) dx$$

$$= 2(x + 2)e^x - \int 2e^x dx - 6ex + C_2$$

$$= 2(x + 2)e^x - 2e^x - 6ex + C_2$$

$$= 2(x + 1)e^x - 6ex + C_2 \quad (C_2 \text{ は積分定数})$$

条件 $f(1) = 0$ を代入する。

$$2(1 + 1)e^1 - 6e \cdot 1 + C_2 = 0$$

$$4e - 6e + C_2 = 0$$

$$-2e + C_2 = 0$$

$$C_2 = 2e$$

したがって、求める関数 $f(x)$ は次の通りである。

$$f(x) = 2(x + 1)e^x - 6ex + 2e$$

これは $x \geqq 0$ における連続関数である。

解説

面積を含む等式から元の関数を決定する、微積分融合の典型的な問題である。 完答するための重要なポイントは以下の2点に集約される。

1. 変数の区別 積分区間の端点である接点の $x$ 座標と、積分の対象となる被積分変数を明確に区別し、$t$ などを導入して立式できるかが問われている。
2. 凸性の利用と絶対値の処理 問題文の $f''(x) > 0$ という条件から、曲線が下に凸であることがわかる。これにより、接線が曲線の「下側」に位置することが確定するため、積分計算時に絶対値を外して正しく立式できる。

これらをクリアした後は、両辺を微分して順次積分し、与えられた初期条件を代入するだけの平易な計算となる。

答え

$$f(x) = 2(x + 1)e^x - 6ex + 2e$$