東北大学 1990年 理系 第3問 解説

方針・初手

まず

$$ y=\log (nx+1)^{2n}=2n\log |nx+1| \qquad (x\ne -\tfrac1n) $$

と見直すのが初手である。これにより、定義域・増減・漸近線・$x$軸との交点がすべて整理できる。

面積計算では、（2） の条件 $p<-\dfrac2n$ により、積分区間では $nx+1<0$ となるので

$$ |nx+1|=-nx-1 $$

として積分すればよい。

（3） では、接点を $(p,\ y(p))$ とすると、接線が原点を通る条件は

$$ y(p)=p,y'(p) $$

で表せる。これをそのまま面積式に代入すると、$p$ を具体的に求めなくても $S$ が決まる。

解法1

(1)

$$ y=2n\log|nx+1| \qquad (x\ne -\tfrac1n) $$

より、定義域は

$$ x\ne -\frac1n $$

である。

導関数は

$$ y'=\frac{2n^2}{nx+1}, \qquad y''=-\frac{2n^3}{(nx+1)^2}. $$

したがって、

• $x<-\dfrac1n$ では $y'<0$ で単調減少
• $x>-\dfrac1n$ では $y'>0$ で単調増加
• 全域で $y''<0$ だから上に凸ではなく、下に凸ではない、すなわち上から押さえられた形である

また、

$$ \log (nx+1)^{2n}=0 $$

より

$$ (nx+1)^{2n}=1 $$

なので

$$ nx+1=\pm 1. $$

よって $x$ 軸との交点は

$$ x=0,\quad x=-\frac2n $$

である。

さらに、

$$ x\to -\frac1n\pm 0 \quad\Longrightarrow\quad |nx+1|\to 0+, $$

より

$$ y\to -\infty. $$

したがって $x=-\dfrac1n$ は垂直漸近線である。

以上より、$C$ は $x=-\dfrac1n$ を境に 2 つの枝をもち、

• 左側の枝は $(-\infty,,-\dfrac1n)$ 上で単調減少し、$(-\dfrac2n,0)$ を通る
• 右側の枝は $(-\dfrac1n,\infty)$ 上で単調増加し、$(0,0)$ を通る
• どちらの枝も $x=-\dfrac1n$ に近づくと $-\infty$ に落ちる

という概形になる。

(2)

$p<-\dfrac2n$ なので、区間 $[p,,-\dfrac2n]$ では $nx+1<0$ である。したがって

$$ y=2n\log(-nx-1) $$

であり、求める面積は

$$ S=\int_p^{-2/n} 2n\log(-nx-1),dx $$

である。

ここで

$$ u=-nx-1 $$

とおくと、

$$ du=-n,dx,\qquad dx=-\frac1n,du. $$

また、

$$ x=p \Rightarrow u=-np-1,\qquad x=-\frac2n \Rightarrow u=1 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} S &=\int_p^{-2/n} 2n\log(-nx-1),dx \\ &=2\int_1^{-np-1}\log u,du \\ &=2\left[u\log u-u\right]_1^{-np-1}. \end{aligned} $$

よって

$$ S =2\left{(-np-1)\log(-np-1)-(-np-1)-(-1)\right}. $$

整理すると

$$ S=2\left{(-np-1)\log(-np-1)+np+2\right}. $$

(3)

負の傾きをもつ接線なので、接点の $x$ 座標 $p$ は左側の枝上にあり、

$$ p<-\frac1n $$

である。しかも接線が原点を通るから、接点 $(p,\ y(p))$ における接線の式

$$ y-y(p)=y'(p)(x-p) $$

に $(0,0)$ を代入して

$$ y(p)=p,y'(p) $$

を得る。

ここで

$$ u=-np-1 \quad (>1) $$

とおくと、

$$ p=\frac{-u-1}{n},\qquad np+1=-u. $$

また

$$ y(p)=2n\log u, \qquad y'(p)=\frac{2n^2}{np+1}=-\frac{2n^2}{u}. $$

したがって条件 $y(p)=p,y'(p)$ は

$$ 2n\log u ======== # \frac{-u-1}{n}\cdot\left(-\frac{2n^2}{u}\right) 2n\cdot\frac{u+1}{u}. $$

よって

$$ \log u=1+\frac1u. $$

一方、（2） の面積式は

$$ S=2{u\log u-u+1} $$

と書けるので、これに $\log u=1+\dfrac1u$ を代入すると

$$ \begin{aligned} S &=2\left{u\left(1+\frac1u\right)-u+1\right} \\ &=2{u+1-u+1} \\ &=4. \end{aligned} $$

したがって

$$ S=4 $$

である。

解説

この問題の要点は、$\log (nx+1)^{2n}$ をそのまま扱うのではなく、

$$ \log (nx+1)^{2n}=2n\log|nx+1| $$

と見て、絶対値つき対数関数として理解することである。これにより、枝が 2 つあること、$x=-\dfrac1n$ が垂直漸近線であること、$x$ 軸との交点が $x=0,,-\dfrac2n$ であることがすぐに分かる。

（3） では接点そのものを解こうとすると煩雑になるが、接線が原点を通る条件

$$ y(p)=p,y'(p) $$

を面積式に直接代入すれば、$p$ を求めずに $S$ が定数になる。ここが最も重要な発想である。

答え

$$ \text{(1) }Cは,x=-\frac1n,を垂直漸近線とする2枝の曲線で、 \left(-\frac2n,0\right),\ (0,0),を通る。 $$

左枝は $x<-\dfrac1n$ で単調減少、右枝は $x>-\dfrac1n$ で単調増加する。

$$ \text{(2) }\quad S=2\left\{(-np-1)\log(-np-1)+np+2\right\} $$

$$ \text{(3) }\quad S=4 $$