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東京工業大学 1979年理系第4問解説

方針・初手

$S$ は対数関数の定積分として直接計算できる。$T$ を求めるためには、2つの接線の方程式を立てて交点 $R$ の座標を求め、底辺 $P'Q'$ に対する高さとして利用する。この計算過程で $R$ の $y$ 座標の分子に $S$ と同じ形が現れることに着目する。

解法1

$y = \log x$ の導関数は $y' = \frac{1}{x}$ である。

曲線 $C$ と直線 $x=a$, $x=c$ および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ は、$1 < a < c$ において $\log x > 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} S &= \int_{a}^{c} \log x \, dx \\ &= \Big[x \log x - x \Big]_{a}^{c} \\ &= c \log c - c - (a \log a - a) \\ &= c \log c - a \log a - (c - a) \end{aligned} $$

次に、点 $P(a, \log a)$ における接線の方程式は、

$$ y - \log a = \frac{1}{a}(x - a) $$

すなわち、

$$ y = \frac{1}{a}x - 1 + \log a $$

同様に、点 $Q(c, \log c)$ における接線の方程式は、

$$ y = \frac{1}{c}x - 1 + \log c $$

この2直線の交点 $R$ の $x$ 座標を求める。

$$ \frac{1}{a}x - 1 + \log a = \frac{1}{c}x - 1 + \log c $$

$$ \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{c}\right)x = \log c - \log a $$

$$ \frac{c - a}{ac}x = \log c - \log a $$

$a \neq c$ より両辺に $\frac{ac}{c - a}$ を掛けて、

$$ x = \frac{ac(\log c - \log a)}{c - a} $$

これを点 $P$ における接線の方程式に代入して、交点 $R$ の $y$ 座標 $y_R$ を求める。

$$ \begin{aligned} y_R &= \frac{1}{a} \cdot \frac{ac(\log c - \log a)}{c - a} - 1 + \log a \\ &= \frac{c(\log c - \log a)}{c - a} - \frac{c - a}{c - a} + \frac{(c - a)\log a}{c - a} \\ &= \frac{c \log c - c \log a - c + a + c \log a - a \log a}{c - a} \\ &= \frac{c \log c - a \log a - (c - a)}{c - a} \end{aligned} $$

ここで、先ほど求めた面積 $S$ の式と見比べると、分子が $S$ に等しいことがわかる。したがって、

$$ y_R = \frac{S}{c - a} $$

と表せる。ここで $c - a > 0$ であり、$S$ は図形の面積であるため $S > 0$ であるから、$y_R > 0$ となる。

$\triangle P'Q'R$ について、点 $P'(a, 0)$, $Q'(c, 0)$ は $x$ 軸上の点である。線分 $P'Q'$ を底辺とすると、その長さは $c - a$ であり、高さは $R$ の $y$ 座標 $y_R$ に等しい。ゆえに、$\triangle P'Q'R$ の面積 $T$ は、

$$ \begin{aligned} T &= \frac{1}{2} \cdot (c - a) \cdot y_R \\ &= \frac{1}{2}(c - a) \cdot \frac{S}{c - a} \\ &= \frac{1}{2}S \end{aligned} $$

したがって、$S = 2T$ となるため、面積の比は $S : T = 2 : 1$ である。

解説

対数関数の定積分と接線の方程式を組み合わせた問題である。交点 $R$ の座標を求める計算は文字が多く煩雑に見えるが、通分して整理した段階で $y$ 座標の分子に定積分と同じ形（面積 $S$）が現れる。式を $S$ で置き換えることで、最終的な計算が劇的に簡略化される。部分積分の計算ミスと、接線の交点の計算ミスに注意すれば確実に完答できる標準的な問題である。