大阪大学 1983年 理系 第4問 解説

方針・初手

2つの曲線 $C_1, C_2$ が点 $P$ を共有し、その点で共通の接線をもつための条件を立式する。共有点の $x$ 座標を $t$ とおき、$y$ 座標が等しいことと、微分係数が等しいことから、$t$ および $c$ を $a$ で表すことができる。その後は、求められた座標を用いて積分の計算や直線の傾きに関する公式へ当てはめていく。

解法1

(1)

$f(x) = \sqrt{x-c}$、$g(x) = e^{ax}$ とおく。

これらの導関数は、

$$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-c}}, \quad g'(x) = a e^{ax} $$

となる。

2つの曲線 $C_1, C_2$ が点 $P$ を共有し、その点で共通の接線をもつため、点 $P$ の $x$ 座標を $t$ とおくと、次の連立方程式が成り立つ。

$$ \begin{cases} \sqrt{t-c} = e^{at} \\ \frac{1}{2\sqrt{t-c}} = a e^{at} \end{cases} $$

第1式を第2式に代入すると、

$$ \frac{1}{2e^{at}} = a e^{at} $$

両辺に $2e^{at}$ を掛けて整理すると、

$$ e^{2at} = \frac{1}{2a} $$

$a > 0$ より $\frac{1}{2a} > 0$ であるから、両辺の自然対数をとると、

$$ 2at = -\log (2a) $$

よって、$t = -\frac{\log(2a)}{2a}$ となる。

このとき、点 $P$ の $y$ 座標は、

$$ e^{at} = e^{-\frac{1}{2}\log(2a)} = (2a)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2a}} $$

となる。したがって、点 $P$ の座標は、

$$ \left( -\frac{\log(2a)}{2a}, \frac{1}{\sqrt{2a}} \right) $$

である。

また、$e^{2at} = \frac{1}{2a}$ と第1式の両辺を2乗した $t-c = e^{2at}$ より、

$$ t-c = \frac{1}{2a} $$

が成り立つから、

$$ c = t - \frac{1}{2a} = -\frac{\log(2a)}{2a} - \frac{1}{2a} = -\frac{\log(2a)+1}{2a} $$

と表せる。

(2)

(1)より $c>0$ であり、$C_1$ の定義域は $x \geqq c$ である。また、$a>0$ より $C_2$ は単調増加である。

2つの曲線と $x$ 軸、$y$ 軸で囲まれる図形の面積を $S$ とする。積分区間は $x=0$ から $x=t$ までであり、$0 \leqq x \leqq c$ では曲線 $C_2$ と $x$ 軸、$c \leqq x \leqq t$ では曲線 $C_2$ と $C_1$ の間にある領域の面積を求めることになる。これは次のように2つの定積分の差として計算できる。

$$ S = \int_{0}^{t} e^{ax} dx - \int_{c}^{t} \sqrt{x-c} dx $$

それぞれの定積分を計算すると、

$$ \int_{0}^{t} e^{ax} dx = \left[ \frac{1}{a} e^{ax} \right]_{0}^{t} = \frac{e^{at} - 1}{a} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2a}} - 1}{a} = \frac{1}{a\sqrt{2a}} - \frac{1}{a} $$

$$ \int_{c}^{t} \sqrt{x-c} dx = \left[ \frac{2}{3} (x-c)^{\frac{3}{2}} \right]_{c}^{t} = \frac{2}{3}(t-c)^{\frac{3}{2}} $$

ここで、(1)より $t-c = \frac{1}{2a}$ であるから、

$$ \frac{2}{3}(t-c)^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2a} \right)^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2a\sqrt{2a}} = \frac{1}{3a\sqrt{2a}} $$

となる。したがって、求める面積 $S$ は、

$$ S = \left( \frac{1}{a\sqrt{2a}} - \frac{1}{a} \right) - \frac{1}{3a\sqrt{2a}} = \frac{2}{3a\sqrt{2a}} - \frac{1}{a} $$

となる。

(3)

曲線 $C_1$ と $x$ 軸との交点 $Q$ の座標は、$(c, 0)$ である。

直線 $PQ$ の傾き $m_1$ は、

$$ m_1 = \frac{\frac{1}{\sqrt{2a}} - 0}{t - c} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2a}}}{\frac{1}{2a}} = \sqrt{2a} $$

となる。また、直線 $l$ の傾き $m_2$ は点 $P$ における微分係数であるから、

$$ m_2 = a e^{at} = \frac{a}{\sqrt{2a}} = \sqrt{\frac{a}{2}} $$

となる。

2直線のなす角 $\theta$ $\left( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$ について、正接の加法定理より、

$$ \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| $$

が成り立つ。ここで、

$$ m_1 - m_2 = \sqrt{2a} - \sqrt{\frac{a}{2}} = \sqrt{\frac{a}{2}} $$

$$ 1 + m_1 m_2 = 1 + \sqrt{2a} \cdot \sqrt{\frac{a}{2}} = 1 + a $$

である。$a > 0$ より $\frac{\sqrt{\frac{a}{2}}}{1+a} > 0$ となるため絶対値記号はそのまま外すことができ、

$$ \tan \theta = \frac{\sqrt{\frac{a}{2}}}{1+a} $$

となる。条件より $\tan \theta = \frac{1}{4}$ であるから、

$$ \frac{\sqrt{\frac{a}{2}}}{1+a} = \frac{1}{4} $$

$$ 4\sqrt{\frac{a}{2}} = 1+a $$

両辺を2乗して整理すると、

$$ 16 \cdot \frac{a}{2} = 1 + 2a + a^2 $$

$$ a^2 - 6a + 1 = 0 $$

これを解くと、$a = 3 \pm 2\sqrt{2}$ を得る。

最後に、問題文の条件 $c > 0$ を満たすかどうかを吟味する。(1)より、

$$ c = -\frac{\log(2a)+1}{2a} $$

であった。$c > 0$ となるためには、分子について $\log(2a)+1 < 0$ つまり $2a < \frac{1}{e}$ でなければならない。

自然対数の底は $e = 2.718\cdots$ であるから、$\frac{1}{e} \approx 0.36$ である。

$a = 3 + 2\sqrt{2}$ のとき、$2a = 6 + 4\sqrt{2} > 11$ となり、$2a < \frac{1}{e}$ を満たさない。

$a = 3 - 2\sqrt{2}$ のとき、$2a = 6 - 4\sqrt{2} = \frac{4}{6+4\sqrt{2}} < \frac{4}{11.6} < \frac{1}{e}$ となり、条件を満たす。

よって、求める $a$ の値は $a = 3 - 2\sqrt{2}$ である。

解説

2つの曲線が接する条件を正確に立式し、文字式を処理する計算力が問われる標準的な微積分・解析の問題である。

(2)の面積計算では、どの曲線とどの軸で囲まれているかを正確に図示・把握し、領域を適切に分割（または定積分の差として表現）することがポイントになる。

(3)では2直線のなす角の公式を利用するが、得られた2つの $a$ の値のうち、大前提である $c>0$ の条件を満たすものを選別する吟味が必要になる。この条件確認を忘れると減点対象となるため注意したい。

答え

(1)

点 $P$ の座標 $\left( -\frac{\log(2a)}{2a}, \frac{1}{\sqrt{2a}} \right)$、$c = -\frac{\log(2a)+1}{2a}$

(2)

$\frac{2}{3a\sqrt{2a}} - \frac{1}{a}$

(3)

$a = 3 - 2\sqrt{2}$