九州大学 1978年 理系 第6問 解説

方針・初手

まずは問題の指示に従い、曲線 $y = e^x$ 上の点における法線の方程式を求め、その $y$ 切片である $F(a)$ の式を導出します。

(2)の面積計算においては、2曲線 $y = F(x)$ と $y = e^x$ の交点を求め、区間内での関数の上下関係を調べたうえで定積分を立式します。積分区間が $b$ の符号によって変わるため、丁寧に場合分けを行います。

(3)の不等式の証明は、(2)で求めた関数 $G(b)$ をそのまま代入して微分により増減を調べる方法と、面積の定義式（定積分）のまま置換積分を用いて比較する方法の2つが考えられます。

解法1

(1)

曲線 $y = e^x$ について、導関数は $y' = e^x$ である。 点 $(a, e^a)$ における接線の傾きは $e^a$ となる。 法線は接線に垂直な直線なので、その傾きは $-\frac{1}{e^a} = -e^{-a}$ である。

点 $(a, e^a)$ を通り、傾きが $-e^{-a}$ の直線の方程式は、

$$y - e^a = -e^{-a}(x - a)$$

すなわち、

$$y = -e^{-a}x + a e^{-a} + e^a$$

これが $y$ 軸と交わる点の $y$ 座標 $F(a)$ は、$x = 0$ を代入して、

$$F(a) = a e^{-a} + e^a$$

となる。次に $F(a) = e^a$ となる $a$ の値を求める。

$$a e^{-a} + e^a = e^a$$

$$a e^{-a} = 0$$

すべての実数 $a$ において $e^{-a} > 0$ であるから、

$$a = 0$$

(2)

2曲線 $y = F(x)$ と $y = e^x$ の交点の $x$ 座標は、$F(x) = e^x$ の解である。 (1)の過程から $x e^{-x} + e^x = e^x$ より $x e^{-x} = 0$ となり、これを満たすのは $x = 0$ のみである。 したがって、2曲線と直線 $x = b\ (b \neq 0)$ とで囲まれる部分は、$0$ と $b$ を両端とする区間となる。

(i) $b > 0$ のとき

$0 < x < b$ において、

$$F(x) - e^x = x e^{-x} > 0$$

であるから、$F(x) > e^x$ となる。 よって、求める面積 $G(b)$ は、

$$\begin{aligned} G(b) &= \int_{0}^{b} (F(x) - e^x) dx \\ &= \int_{0}^{b} x e^{-x} dx \\ &= \left[ -x e^{-x} \right]_{0}^{b} - \int_{0}^{b} (-e^{-x}) dx \\ &= -b e^{-b} - \left[ e^{-x} \right]_{0}^{b} \\ &= -b e^{-b} - (e^{-b} - 1) \\ &= 1 - (b+1)e^{-b} \end{aligned}$$

(ii) $b < 0$ のとき

$b < x < 0$ において、

$$F(x) - e^x = x e^{-x} < 0$$

であるから、$e^x > F(x)$ となる。 よって、求める面積 $G(b)$ は、

$$\begin{aligned} G(b) &= \int_{b}^{0} (e^x - F(x)) dx \\ &= \int_{b}^{0} (-x e^{-x}) dx \\ &= \left[ x e^{-x} \right]_{b}^{0} - \int_{b}^{0} e^{-x} dx \\ &= -b e^{-b} + \left[ e^{-x} \right]_{b}^{0} \\ &= -b e^{-b} + (1 - e^{-b}) \\ &= 1 - (b+1)e^{-b} \end{aligned}$$

(i), (ii) のいずれの場合も、

$$G(b) = 1 - (b+1)e^{-b}$$

(3)

(2) の結果より、$G(-b)$ は、

$$\begin{aligned} G(-b) &= 1 - (-b+1)e^{-(-b)} \\ &= 1 + (b-1)e^b \end{aligned}$$

ここで、$H(b) = G(-b) - G(b)$ とおく。

$$H(b) = \{1 + (b-1)e^b\} - \{1 - (b+1)e^{-b}\} = (b-1)e^b + (b+1)e^{-b}$$

$H(b)$ を $b$ について微分すると、

$$\begin{aligned} H'(b) &= 1 \cdot e^b + (b-1)e^b + 1 \cdot e^{-b} + (b+1)(-e^{-b}) \\ &= b e^b - b e^{-b} \\ &= b(e^b - e^{-b}) \end{aligned}$$

$b > 0$ のとき、$e^b > 1 > e^{-b}$ であるから $e^b - e^{-b} > 0$ となり、$H'(b) > 0$ である。 したがって、$H(b)$ は $b \geqq 0$ において単調に増加する。

$$H(0) = (0-1)e^0 + (0+1)e^0 = -1 + 1 = 0$$

であるから、$b > 0$ において $H(b) > H(0) = 0$ となる。 すなわち、$G(-b) - G(b) > 0$ より、

$$G(b) < G(-b)$$

が成り立つことが示された。

解法2

(3) の別解

(2) より、$b > 0$ のときの $G(b)$ は以下の定積分で表される。

$$G(b) = \int_{0}^{b} x e^{-x} dx$$

また、$b > 0$ のとき $-b < 0$ であり、(2)の (ii) の計算過程より、$G(-b)$ は以下のように表される。

$$G(-b) = \int_{-b}^{0} (-x e^{-x}) dx$$

この定積分において、$x = -t$ と置換する。 $dx = -dt$ であり、積分区間は $x$ が $-b \to 0$ のとき、$t$ は $b \to 0$ となる。

$$\begin{aligned} G(-b) &= \int_{b}^{0} t e^{t} (-dt) \\ &= \int_{0}^{b} t e^{t} dt \end{aligned}$$

積分変数を $x$ に書き直すと、

$$G(-b) = \int_{0}^{b} x e^{x} dx$$

したがって、$G(-b)$ と $G(b)$ の差は、

$$\begin{aligned} G(-b) - G(b) &= \int_{0}^{b} x e^{x} dx - \int_{0}^{b} x e^{-x} dx \\ &= \int_{0}^{b} x(e^x - e^{-x}) dx \end{aligned}$$

ここで、積分区間 $0 < x < b$ において、$x > 0$ かつ $e^x > e^{-x}$ である。 よって、被積分関数について $x(e^x - e^{-x}) > 0$ が成り立つ。 被積分関数が常に正である区間で定積分を行うため、

$$\int_{0}^{b} x(e^x - e^{-x}) dx > 0$$

すなわち、$G(-b) - G(b) > 0$ となる。 ゆえに、$G(b) < G(-b)$ が示された。

解説

法線の導出、グラフの上下関係を把握しての面積計算、そして不等式証明という、数学IIIの微分積分の基本的な流れを問う標準問題です。

(2)で絶対値を外すために場合分けをしますが、結果的に得られる $G(b)$ の式は $b$ の符号によらず同じ形になります。ここを乗り切れば(3)の微分は容易です。

また(3)において、解法2のように定積分の形のまま置換積分を適用して比較を行うと、面倒な微分計算を回避し、被積分関数の大小比較だけで鮮やかに証明することができます。積分区間が対称な問題では、この「置換して積分区間を揃える」という手法が非常に有効です。

答え

(1) $a = 0$

(2) $G(b) = 1 - (b+1)e^{-b}$

(3) 証明は解法1または解法2を参照。