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東北大学 1982年理系第2問解説

方針・初手

与えられた等差数列と等比数列の一般項を立式し、数列の和 $S_n = \sum_{k=1}^n a_k b_k c_k$ から $a_n b_n c_n$ を取り出す。和から一般項を求める基本関係式 $a_n b_n c_n = S_n - S_{n-1} \ (n \ge 2)$ を用いるが、$n=1$ の場合と $n \ge 2$ の場合で式が一致するか必ず確認する。後半の無限級数は、求めた $c_n$ を代入し、部分分数分解を利用して隣接項の差（望遠鏡和）を作り出し、部分和の極限として計算する。

解法1

(1)

等差数列 $\{a_n\}$ は初項 $7$, 公差 $2$ であるから、一般項は

$$ a_n = 7 + (n-1) \cdot 2 = 2n + 5 $$

等比数列 $\{b_n\}$ は初項 $\frac{1}{3}$, 公比 $\frac{1}{3}$ であるから、一般項は

$$ b_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} = \frac{1}{3^n} $$

与えられた条件より、数列 $\{a_n b_n c_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とおくと、

$$ S_n = \sum_{k=1}^n a_k b_k c_k = \frac{1}{3}(n+1)(n+2)(n+3) $$

$n=1$ のとき、

$$ S_1 = a_1 b_1 c_1 = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 8 $$

$a_1 = 7, b_1 = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$$ 7 \cdot \frac{1}{3} \cdot c_1 = 8 \iff c_1 = \frac{24}{7} $$

$n \ge 2$ のとき、

$$ \begin{aligned} a_n b_n c_n &= S_n - S_{n-1} \\ &= \frac{1}{3}(n+1)(n+2)(n+3) - \frac{1}{3}n(n+1)(n+2) \\ &= \frac{1}{3}(n+1)(n+2) \{ (n+3) - n \} \\ &= (n+1)(n+2) \end{aligned} $$

$a_n = 2n+5, b_n = \frac{1}{3^n}$ を代入すると、

$$ (2n+5) \frac{1}{3^n} c_n = (n+1)(n+2) $$

$n \ge 2$ において $2n+5 \ne 0$ であるから、

$$ c_n = \frac{3^n(n+1)(n+2)}{2n+5} $$

ここで、$n=1$ をこの式に代入すると $\frac{3^1 \cdot 2 \cdot 3}{7} = \frac{18}{7}$ となり、$c_1 = \frac{24}{7}$ と一致しない。したがって、一般項 $c_n$ は $n=1$ のときと $n \ge 2$ のときで分けて表される。

(2)

求める無限級数は $\lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N \frac{1}{c_n}$ である。 $N \ge 2$ として、部分和 $T_N = \sum_{n=1}^N \frac{1}{c_n}$ を考える。

$$ T_N = \frac{1}{c_1} + \sum_{n=2}^N \frac{1}{c_n} $$

$n \ge 2$ において、

$$ \frac{1}{c_n} = \frac{2n+5}{3^n(n+1)(n+2)} $$

分子を $2n+5 = 3(n+2) - (n+1)$ と変形し、部分分数分解を行う。

$$ \begin{aligned} \frac{1}{c_n} &= \frac{3(n+2) - (n+1)}{3^n(n+1)(n+2)} \\ &= \frac{3}{3^n(n+1)} - \frac{1}{3^n(n+2)} \\ &= \frac{1}{3^{n-1}(n+1)} - \frac{1}{3^n(n+2)} \end{aligned} $$

これを用いて $\sum_{n=2}^N \frac{1}{c_n}$ を計算すると、

$$ \begin{aligned} \sum_{n=2}^N \frac{1}{c_n} &= \sum_{n=2}^N \left\{ \frac{1}{3^{n-1}(n+1)} - \frac{1}{3^n(n+2)} \right\} \\ &= \left( \frac{1}{3^1 \cdot 3} - \frac{1}{3^2 \cdot 4} \right) + \left( \frac{1}{3^2 \cdot 4} - \frac{1}{3^3 \cdot 5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{3^{N-1}(N+1)} - \frac{1}{3^N(N+2)} \right) \\ &= \frac{1}{9} - \frac{1}{3^N(N+2)} \end{aligned} $$

したがって、部分和 $T_N$ は

$$ \begin{aligned} T_N &= \frac{1}{c_1} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3^N(N+2)} \\ &= \frac{7}{24} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3^N(N+2)} \\ &= \frac{21+8}{72} - \frac{1}{3^N(N+2)} \\ &= \frac{29}{72} - \frac{1}{3^N(N+2)} \end{aligned} $$

ここで、$N \to \infty$ のとき $3^N(N+2) \to \infty$ であるから、

$$ \lim_{N \to \infty} \frac{1}{3^N(N+2)} = 0 $$

よって、求める無限級数の和は

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{c_n} = \lim_{N \to \infty} T_N = \frac{29}{72} $$

解説

和から一般項を求める $a_n = S_n - S_{n-1} \ (n \ge 2)$ を用いる典型問題である。この公式を用いる際、$n=1$ の場合と $n \ge 2$ の場合で得られる一般項の式が一致するかどうかの確認を怠らないことが重要である。本問では初項のみが規則から外れるため、場合分けをせずに一つの式でまとめようとすると誤答につながる。 (2) の無限級数では、部分分数分解によって $f(n) - f(n+1)$ の形を作り出すのが定石である。初項 $c_1$ を別途足し合わせることを忘れずに極限を計算すればよい。