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東北大学 1982年理系第3問解説

方針・初手

曲線と直線の交点の座標をそれぞれ求め、それらを通る円の中心 $P$ の座標を $\theta$ の式で表す。曲線と与えられた3直線はすべて $y$ 軸に関して対称であるため、円の中心は $y$ 軸上に存在することを利用し、中心から各交点までの距離が等しいという条件から方程式を立てる。その後、得られた中心の $y$ 座標の式において $\theta \to 0$ の極限を計算する。

解法1

曲線 $y = \cos kx$ と3直線 $x = -\theta, x = 0, x = \theta$ との交点をそれぞれ $A, B, C$ とすると、各点の座標は以下のようになる。

$$ A(-\theta, \cos k\theta), \quad B(0, 1), \quad C(\theta, \cos k\theta) $$

ここで $\cos(-k\theta) = \cos k\theta$ を用いた。

3点 $A, B, C$ を通る円の中心を $P$ とする。点 $A$ と点 $C$ は $y$ 軸に関して対称であり、円の中心 $P$ は線分 $AC$ の垂直二等分線、すなわち $y$ 軸上にある。したがって、点 $P$ の座標を $(0, Y)$ とおくことができる。

円の中心から円周上の点までの距離は等しいから、$PB = PC$、すなわち $PB^2 = PC^2$ が成り立つ。2点間の距離の公式より、

$$ (0 - 0)^2 + (Y - 1)^2 = (\theta - 0)^2 + (\cos k\theta - Y)^2 $$

これを展開して整理する。

$$ Y^2 - 2Y + 1 = \theta^2 + \cos^2 k\theta - 2Y\cos k\theta + Y^2 $$

$$ 2Y - 2Y\cos k\theta = 1 - \cos^2 k\theta - \theta^2 $$

$$ 2Y(1 - \cos k\theta) = (1 - \cos k\theta)(1 + \cos k\theta) - \theta^2 $$

与えられた条件 $0 < \theta < \frac{2\pi}{k}$ より $0 < k\theta < 2\pi$ であるから、$\cos k\theta \neq 1$ である。よって $1 - \cos k\theta \neq 0$ となり、両辺を $2(1 - \cos k\theta)$ で割ることができる。

$$ Y = \frac{1 + \cos k\theta}{2} - \frac{\theta^2}{2(1 - \cos k\theta)} $$

右辺第2項の分母分子に $1 + \cos k\theta$ を掛けて、極限を求めやすい形に変形する。

$$ Y = \frac{1 + \cos k\theta}{2} - \frac{\theta^2(1 + \cos k\theta)}{2(1 - \cos k\theta)(1 + \cos k\theta)} $$

$$ = \frac{1 + \cos k\theta}{2} - \frac{\theta^2(1 + \cos k\theta)}{2(1 - \cos^2 k\theta)} $$

$$ = \frac{1 + \cos k\theta}{2} - \frac{\theta^2(1 + \cos k\theta)}{2\sin^2 k\theta} $$

$$ = \frac{1 + \cos k\theta}{2} - \frac{1}{2k^2} \left(\frac{k\theta}{\sin k\theta}\right)^2 (1 + \cos k\theta) $$

ここで $\theta \to 0$ とするとき、$k\theta \to 0$ であるから、極限の公式 $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ を用いると、

$$ \lim_{\theta \to 0} \frac{k\theta}{\sin k\theta} = 1 $$

また、$\lim_{\theta \to 0} \cos k\theta = 1$ である。これらを代入して $Y$ の極限を求める。

$$ \lim_{\theta \to 0} Y = \frac{1 + 1}{2} - \frac{1}{2k^2} \cdot 1^2 \cdot (1 + 1) $$

$$ = 1 - \frac{1}{k^2} $$

したがって、中心 $P$ は $\theta \to 0$ のとき、点 $\left(0, 1 - \frac{1}{k^2}\right)$ に近づく。

解説

本問は、関数のグラフにおけるある点（ここでは $x=0$ での頂点）の近傍を通る円の極限を求める問題であり、大学数学で学ぶ「曲率円（接触円）」の中心（曲率中心）を求める計算の具体例となっています。

計算上の最大のポイントは、三角関数の極限の基本形 $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ を作り出す式変形です。分母に $1 - \cos x$ の形が現れた際には、分母分子に $1 + \cos x$ を掛けて $\sin^2 x$ を作り出す手法が定石であり、この処理をスムーズに行えるかどうかが解答の正確さとスピードを分けます。