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東北大学 1984年理系第5問解説

方針・初手

$f(x)$ は絶対値の和であるから、$x$ を動かすと折れ線状に変化する。したがって、$x$ が各点 $3,3^2,\dots,3^{2n}$ を通過するごとに傾きがどう変わるかを調べれば、最小となる区間が分かる。

最小値が生じる区間が分かれば、その区間では各絶対値の符号が確定するので、$f(x)$ を具体的に計算できる。

解法1

$3^1<3^2<\cdots<3^{2n}$ である。

まず、$x$ がどの区間にあるかで $f(x)$ の傾きを調べる。

(i) $x<3$ のとき

すべての $k$ について $x<3^k$ であるから、

$$ f(x)=\sum_{k=1}^{2n}(3^k-x) $$

となり、このとき傾きは $-2n$ である。

(ii) $3^m<x<3^{m+1}\quad (1\le m\le 2n-1)$ のとき

$k\le m$ では $x>3^k$、$k\ge m+1$ では $x<3^k$ であるから、

$$ f(x)=\sum_{k=1}^{m}(x-3^k)+\sum_{k=m+1}^{2n}(3^k-x) $$

となる。したがって傾きは

$$ m-(2n-m)=2m-2n $$

である。

(iii) $x>3^{2n}$ のとき

すべての $k$ について $x>3^k$ であるから、

$$ f(x)=\sum_{k=1}^{2n}(x-3^k) $$

となり、傾きは $2n$ である。

以上より、区間ごとの傾きは

$3^m<x<3^{m+1}$ で $2m-2n$
したがって $m<n$ では負
$m=n$ では $0$
$m>n$ では正

である。

よって $f(x)$ は $x<3^n$ で減少し、$3^n\le x\le 3^{n+1}$ で一定、$x>3^{n+1}$ で増加する。したがって、$f(x)$ を最小にする $x$ 全体は

$$ [,3^n,\ 3^{n+1},] $$

である。

次に、この区間での最小値を求める。

$x\in[3^n,3^{n+1}]$ とすると、$k\le n$ では $x\ge 3^k$、$k\ge n+1$ では $x\le 3^k$ であるから、

$$ f(x)=\sum_{k=1}^{n}(x-3^k)+\sum_{k=n+1}^{2n}(3^k-x) $$

となる。整理すると、

$$ f(x)=nx-\sum_{k=1}^{n}3^k+\sum_{k=n+1}^{2n}3^k-nx =\sum_{k=n+1}^{2n}3^k-\sum_{k=1}^{n}3^k $$

であり、確かに $x$ によらず一定である。

ここで等比数列の和を用いると、

$$ \sum_{k=1}^{n}3^k=\frac{3^{n+1}-3}{2}, \qquad \sum_{k=n+1}^{2n}3^k=\frac{3^{2n+1}-3^{n+1}}{2} $$

だから、

$$ a_n =\frac{3^{2n+1}-3^{n+1}}{2}-\frac{3^{n+1}-3}{2} =\frac{3^{2n+1}-2\cdot 3^{n+1}+3}{2} $$

よって

$$ a_n=\frac{3(3^n-1)^2}{2} $$

である。

さらに、

$$ \frac{a_n}{9^n} =\frac{3(3^n-1)^2}{2\cdot 9^n} =\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)^2 $$

であるから、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{9^n} =\frac{3}{2} $$

となる。

解説

絶対値の和 $\sum |x-a_k|$ は、$x$ を右に動かすと、各点 $a_k$ を通過するたびに傾きが $2$ ずつ増える。本問では点が $3,3^2,\dots,3^{2n}$ の $2n$ 個あるので、ちょうど真ん中の $3^n$ と $3^{n+1}$ の間で傾きが $0$ になり、そこで最小となる。

要するに、「絶対値の和の最小は中央値で達成される」という事実の具体例である。ただし個数が偶数個なので、中央値は 1 点ではなく区間 $[3^n,3^{n+1}]$ になる。