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東北大学 1982年理系第5問解説

方針・初手

(1) は行列の固有値と固有ベクトルに関する問題である。与えられた等式は、行列 $A$ が固有値 $1$ をもち、その固有ベクトルが点 $P$ の位置ベクトルであることを示している。原点以外の点 $P$ が存在することから、行列 $A - E$（$E$ は単位行列）が逆行列をもたないための条件を立式して $b$ を求める。その後、固有ベクトルの成分を求めて規格化（大きさを $1$ にする）を行う。

(2) も同様に固有値と固有ベクトルの問題である。固有方程式を解いて $1$ 以外の固有値 $t$ を求める。実対称行列の異なる固有値に対応する固有ベクトルは互いに直交するという性質を利用すると、計算量を大幅に減らすことができる。

(3) はベクトル $\vec{OP}$ と $\vec{OQ}$ のなす角とそれぞれの大きさが分かっているため、図形的に直角二等辺三角形の面積として求めることができる。あるいは、座標を用いて面積公式から直接計算してもよい。

解法1

(1)

条件より、次の等式が成り立つ。

$$ A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

これを変形すると、単位行列を $E$ として次のように表せる。

$$ (A - E) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

$x > 0$ より $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ であるから、行列 $A - E$ は逆行列をもたない。したがって、その行列式は $0$ となる。

$$ A - E = \begin{pmatrix} 2a - 1 & b \\ b & a - 1 \end{pmatrix} $$

行列式を計算すると、次のようになる。

$$ (2a - 1)(a - 1) - b^2 = 0 $$

これを $b^2$ について解く。

$$ b^2 = 2a^2 - 3a + 1 = (1 - 2a)(1 - a) $$

条件 $a \leqq \frac{1}{2}$ より、$1 - 2a \geqq 0$ かつ $1 - a > 0$ であるから、$(1 - 2a)(1 - a) \geqq 0$ となる。$b \geqq 0$ であるため、平方根をとって次のように定まる。

$$ b = \sqrt{(1 - 2a)(1 - a)} $$

このとき、$A - E$ に戻って $x, y$ の関係式を求める。

$$ \begin{pmatrix} 2a - 1 & b \\ b & a - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

第2成分の式より、次の関係が成り立つ。

$$ bx + (a - 1)y = 0 $$

$a \leqq \frac{1}{2}$ より $1 - a \neq 0$ であるから、$y$ について解くことができる。

$$ y = \frac{b}{1 - a} x $$

これを $x^2 + y^2 = 1$ に代入する。

$$ x^2 + \left( \frac{b}{1 - a} \right)^2 x^2 = 1 $$

$b^2 = (1 - 2a)(1 - a)$ を代入して整理する。

$$ x^2 \left\{ 1 + \frac{(1 - 2a)(1 - a)}{(1 - a)^2} \right\} = 1 $$

$$ x^2 \left( 1 + \frac{1 - 2a}{1 - a} \right) = 1 $$

$$ x^2 \left( \frac{1 - a + 1 - 2a}{1 - a} \right) = 1 $$

$$ x^2 \left( \frac{2 - 3a}{1 - a} \right) = 1 $$

$a \leqq \frac{1}{2}$ において $1 - a > 0$ かつ $2 - 3a > 0$ である。$x > 0$ より平方根をとる。

$$ x = \sqrt{\frac{1 - a}{2 - 3a}} $$

これを $y$ の式に代入する。

$$ y = \frac{\sqrt{(1 - 2a)(1 - a)}}{1 - a} \sqrt{\frac{1 - a}{2 - 3a}} = \sqrt{\frac{1 - 2a}{1 - a}} \sqrt{\frac{1 - a}{2 - 3a}} = \sqrt{\frac{1 - 2a}{2 - 3a}} $$

したがって、点 $P$ の座標は次のようになる。

$$ P \left( \sqrt{\frac{1 - a}{2 - 3a}}, \sqrt{\frac{1 - 2a}{2 - 3a}} \right) $$

(2)

行列 $A$ の固有値を $t$ とする固有方程式 $\det(A - tE) = 0$ を解く。

$$ (2a - t)(a - t) - b^2 = 0 $$

$$ t^2 - 3at + 2a^2 - (2a^2 - 3a + 1) = 0 $$

$$ t^2 - 3at + 3a - 1 = 0 $$

左辺を因数分解する。

$$ (t - 1)\{t - (3a - 1)\} = 0 $$

条件より $t \neq 1$ であるから、$t = 3a - 1$ となる。（なお、$t = 1$ となるときは $3a - 1 = 1$ より $a = \frac{2}{3}$ となるが、$a \leqq \frac{1}{2}$ よりこれは起こらない。）

点 $Q$ の位置ベクトルは固有値 $3a - 1$ に属する固有ベクトルである。行列 $A$ は実対称行列であり、異なる固有値に属する固有ベクトルは互いに直交する。したがって、$\vec{OP} \perp \vec{OQ}$ が成り立つ。

さらに、条件より $|\vec{OP}| = 1$ かつ $|\vec{OQ}| = 1$ であるから、点 $Q(X, Y)$ は点 $P(x, y)$ を原点を中心に $90^\circ$ または $-90^\circ$ 回転した点である。すなわち、$(X, Y) = (-y, x)$ または $(X, Y) = (y, -x)$ と表せる。

$x > 0$ であり、条件より $Y > 0$ であるため、$Y = x$ でなければならない。よって、$(X, Y) = (-y, x)$ と定まる。

これに (1) で求めた $x, y$ を代入する。

$$ X = -\sqrt{\frac{1 - 2a}{2 - 3a}}, \quad Y = \sqrt{\frac{1 - a}{2 - 3a}} $$

したがって、点 $Q$ の座標は次のようになる。

$$ Q \left( -\sqrt{\frac{1 - 2a}{2 - 3a}}, \sqrt{\frac{1 - a}{2 - 3a}} \right) $$

(3)

(2) より、$\vec{OP} \perp \vec{OQ}$ であり、かつ $|\vec{OP}| = 1, |\vec{OQ}| = 1$ である。

したがって、三角形 $OPQ$ は直角二等辺三角形であるから、その面積 $S$ は次のように求められる。

$$ S = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2} $$

解法2

(2) の別解として、直交性を利用せず成分計算で直接求める方法を示す。

(2)

解法1と同様にして $t = 3a - 1$ を得る。

点 $Q(X, Y)$ は $A \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = (3a - 1) \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$ を満たすので、次のように立式できる。

$$ \{A - (3a - 1)E\} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} 1 - a & b \\ b & 1 - 2a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

第1成分の式より、次の関係が成り立つ。

$$ (1 - a)X + bY = 0 $$

$a \leqq \frac{1}{2}$ より $1 - a \neq 0$ であるから、$X$ について解く。

$$ X = -\frac{b}{1 - a}Y $$

これを $X^2 + Y^2 = 1$ に代入する。

$$ \left( -\frac{b}{1 - a}Y \right)^2 + Y^2 = 1 $$

$$ Y^2 \left\{ \frac{(1 - 2a)(1 - a)}{(1 - a)^2} + 1 \right\} = 1 $$

$$ Y^2 \left( \frac{1 - 2a}{1 - a} + \frac{1 - a}{1 - a} \right) = 1 $$

$$ Y^2 \left( \frac{2 - 3a}{1 - a} \right) = 1 $$

$Y > 0$ であるから、平方根をとる。

$$ Y = \sqrt{\frac{1 - a}{2 - 3a}} $$

これを $X$ の式に代入する。

$$ X = -\frac{\sqrt{(1 - 2a)(1 - a)}}{1 - a} \sqrt{\frac{1 - a}{2 - 3a}} = -\sqrt{\frac{1 - 2a}{1 - a}} \sqrt{\frac{1 - a}{2 - 3a}} = -\sqrt{\frac{1 - 2a}{2 - 3a}} $$

したがって、点 $Q$ の座標は次のようになる。

$$ Q \left( -\sqrt{\frac{1 - 2a}{2 - 3a}}, \sqrt{\frac{1 - a}{2 - 3a}} \right) $$

(3) の別解として、座標から直接面積を計算する方法を示す。

(3)

三角形の面積公式 $S = \frac{1}{2}|xY - yX|$ に各座標を代入する。

$$ S = \frac{1}{2} \left| \sqrt{\frac{1 - a}{2 - 3a}} \sqrt{\frac{1 - a}{2 - 3a}} - \sqrt{\frac{1 - 2a}{2 - 3a}} \left(-\sqrt{\frac{1 - 2a}{2 - 3a}}\right) \right| $$

$$ S = \frac{1}{2} \left| \frac{1 - a}{2 - 3a} + \frac{1 - 2a}{2 - 3a} \right| $$

$$ S = \frac{1}{2} \left| \frac{2 - 3a}{2 - 3a} \right| = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2} $$