東北大学 1982年 理系 第4問 解説

方針・初手

与えられた曲線は

$$ y=\frac{a}{2}\left(e^{x/a}+e^{-x/a}\right)=a\cosh\frac{x}{a} $$

であり、いわゆる懸垂線である。

まず微分して弧長の被積分関数

$$ \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} $$

を簡単にすると、これがそのまま $y/a$ に一致する。したがって弧長 $l$ は $X$ だけでなく $Y$ でも表せる。

その後、$l=\sqrt{3}a$ から $Q$ の座標を決定し、最後に回転体の体積を円板法で計算する。

解法1

曲線を

$$ y=a\cosh\frac{x}{a} $$

と書く。

このとき

$$ \frac{dy}{dx}=\sinh\frac{x}{a} $$

であるから、

$$ 1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 =1+\sinh^2\frac{x}{a} =\cosh^2\frac{x}{a} $$

より、$x>0$ では $\cosh(x/a)>0$ なので

$$ \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} =\cosh\frac{x}{a} $$

となる。

(1) 弧の長さ $l$ を $a,\ Y$ で表す

点 $P(0,a)$ から点 $Q(X,Y)$ までの弧長 $l$ は

$$ l=\int_0^X \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2},dx =\int_0^X \cosh\frac{x}{a},dx $$

であるから、

$$ l=a\sinh\frac{X}{a} $$

を得る。

一方、点 $Q(X,Y)$ は曲線上にあるので

$$ Y=a\cosh\frac{X}{a} $$

である。したがって

$$ \left(\frac{Y}{a}\right)^2-\left(\frac{l}{a}\right)^2 =\cosh^2\frac{X}{a}-\sinh^2\frac{X}{a} =1 $$

より

$$ l^2=Y^2-a^2 $$

となる。$x>0$ なので $X>0$ であり、よって $l>0$ だから

$$ l=\sqrt{Y^2-a^2} $$

である。

(2) $l=\sqrt{3}a$ のときの $Q$ の座標

(1) より

$$ \sqrt{3}a=\sqrt{Y^2-a^2} $$

だから、

$$ 3a^2=Y^2-a^2 $$

すなわち

$$ Y^2=4a^2 $$

となる。曲線上では $Y>0$ であるから

$$ Y=2a $$

である。

さらに

$$ Y=a\cosh\frac{X}{a} $$

に代入すると

$$ 2a=a\cosh\frac{X}{a} $$

すなわち

$$ \cosh\frac{X}{a}=2 $$

となる。

ここで

$$ \cosh t=2 \quad (t>0) $$

を満たす $t$ を求めると、

$$ \frac{e^t+e^{-t}}{2}=2 $$

より

$$ e^{2t}-4e^t+1=0 $$

であるから

$$ e^t=2+\sqrt{3} $$

となる。したがって

$$ t=\log(2+\sqrt{3}) $$

なので

$$ X=a\log(2+\sqrt{3}) $$

を得る。

ゆえに

$$ Q\left(a\log(2+\sqrt{3}),,2a\right) $$

である。

(3) 回転体の体積

求める部分を $x$ 軸のまわりに回転させると、体積 $V$ は円板法により

$$ V=\pi\int_0^X y^2,dx $$

で与えられる。

ここで

$$ y=a\cosh\frac{x}{a} $$

だから、

$$ V=\pi\int_0^X a^2\cosh^2\frac{x}{a},dx $$

となる。$u=x/a$ とおくと $dx=a,du$ であり、$X/a=\log(2+\sqrt{3})$ だから

$$ V=\pi a^3\int_0^{\log(2+\sqrt{3})}\cosh^2 u,du $$

である。

恒等式

$$ \cosh^2 u=\frac{1+\cosh 2u}{2} $$

を用いると、

$$ \int \cosh^2 u,du =\frac{u}{2}+\frac{\sinh 2u}{4} $$

だから

$$ V=\pi a^3\left[\frac{u}{2}+\frac{\sinh 2u}{4}\right]_0^{\log(2+\sqrt{3})} $$

を得る。

$t=\log(2+\sqrt{3})$ とおくと、(2) より

$$ \cosh t=2,\qquad \sinh t=\sqrt{3} $$

であるから

$$ \sinh 2t=2\sinh t\cosh t=2\cdot \sqrt{3}\cdot 2=4\sqrt{3} $$

となる。よって

$$ V=\pi a^3\left(\frac{t}{2}+\frac{4\sqrt{3}}{4}\right) =\pi a^3\left(\sqrt{3}+\frac{1}{2}\log(2+\sqrt{3})\right) $$

である。

したがって

$$ V=\frac{\pi a^3}{2}\left(2\sqrt{3}+\log(2+\sqrt{3})\right) $$

となる。

解説

この問題の要点は、懸垂線

$$ y=a\cosh\frac{x}{a} $$

に対して

$$ \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} =\cosh\frac{x}{a} =\frac{y}{a} $$

となることにある。これにより弧長が非常に扱いやすくなり、$Y$ と直接結びつけられる。

また、(2) では弧長条件から先に $Y$ を決め、その後で曲線の式から $X$ を求めるのが自然である。(3) は回転体の体積なので、断面積 $\pi y^2$ を積分する円板法を使えばよい。

答え

$$ \text{(1)}\quad l=\sqrt{Y^2-a^2} $$

$$ \text{(2)}\quad Q\left(a\log(2+\sqrt{3}),\,2a\right) $$

$$ \text{(3)}\quad V=\frac{\pi a^3}{2}\left(2\sqrt{3}+\log(2+\sqrt{3})\right) $$