東北大学 1983年 理系 第3問 解説

方針・初手

共通接線をまず求める。接点を $C_1$ 上で $P(a,,-a(a+3))$、$C_2$ 上で $Q(b,,-9b(b-5))$ とおけば、それぞれの接線の式を微分から表せる。

その2本の接線が一致する条件から $a,b$ を決め、最後に

$$ \int_{-6}^{0}{\text{直線}-C_1},dx+\int_{0}^{2}{\text{直線}-C_2},dx $$

で面積を求める。

解法1

$C_1,\ C_2$ をそれぞれ

$$ C_1:\ y=-x^2-3x,\qquad C_2:\ y=-9x^2+45x $$

と書く。

共通接線の決定

$C_1$ 上の $x=a$ における接線を求める。

$$ y'=-2x-3 $$

より、傾きは $-2a-3$ である。したがって接線は

$$ y=(-2a-3)(x-a)-a(a+3) $$

であり、整理すると

$$ y=(-2a-3)x+a^2 $$

となる。

同様に、$C_2$ 上の $x=b$ における接線は、$C_2$ の導関数

$$ y'=-18x+45 $$

を用いて

$$ y=(-18b+45)(x-b)-9b(b-5) $$

であるから、整理して

$$ y=(-18b+45)x+9b^2 $$

となる。

これらが同一直線であるから、傾きと切片が一致して

$$ -2a-3=-18b+45,\qquad a^2=9b^2 $$

を満たす。

ここで、接線の傾きは正であるから、$C_1$ 側では

$$ -2a-3>0 \quad\Rightarrow\quad a<-\frac32 $$

であり、また $C_2$ 側では

$$ -18b+45>0 \quad\Rightarrow\quad b<\frac52 $$

である。図形の取り方から $b>0$ なので、$a^2=9b^2$ より

$$ a=-3b $$

を採用する。

これを傾きの一致式に代入すると

$$ -2(-3b)-3=-18b+45 $$

すなわち

$$ 6b-3=-18b+45 $$

より

$$ 24b=48,\qquad b=2 $$

したがって

$$ a=-6 $$

である。

よって接点は

$$ P=(-6,,-(-6)(-3))=(-6,-18),\qquad Q=(2,,-9\cdot2\cdot(2-5))=(2,54) $$

であり、共通接線は

$$ y=(-2(-6)-3)x+(-6)^2=9x+36 $$

である。

面積の計算

求める図形は、弧 $PO$、弧 $OQ$、および線分 $PQ$ に囲まれる部分である。

したがって面積 $S$ は

$$ S=\int_{-6}^{0}{(9x+36)-(-x^2-3x)},dx+\int_{0}^{2}{(9x+36)-(-9x^2+45x)},dx $$

となる。

被積分関数を整理すると

$$ (9x+36)-(-x^2-3x)=x^2+12x+36=(x+6)^2 $$

および

$$ (9x+36)-(-9x^2+45x)=9x^2-36x+36=9(x-2)^2 $$

であるから、

$$ S=\int_{-6}^{0}(x+6)^2,dx+\int_{0}^{2}9(x-2)^2,dx $$

となる。

それぞれ計算すると、

$$ \int_{-6}^{0}(x+6)^2,dx =\left[\frac{(x+6)^3}{3}\right]_{-6}^{0} =\frac{6^3}{3} =72 $$

また

$$ \int_{0}^{2}9(x-2)^2,dx =9\left[\frac{(x-2)^3}{3}\right]_{0}^{2} =3\bigl(0-(-8)\bigr) =24 $$

である。

したがって

$$ S=72+24=96 $$

となる。

解説

接点の $x$ 座標を文字で置いて接線を求めるのが自然である。二次関数 $y=f(x)$ の $x=t$ における接線は

$$ y=f'(t)(x-t)+f(t) $$

で表せるので、共通接線の条件は「傾きが等しい」「切片が等しい」の2本立てになる。

面積計算では、共通接線が各放物線の上側にあるため、「直線から曲線を引く」積分を左右で分けて計算すればよい。整理後に $(x+6)^2,\ 9(x-2)^2$ となるので、計算も簡潔になる。

答え

求める面積は

$$ 96 $$

である。