東北大学 1995年 理系 第4問 解説

方針・初手

四角形 $ABCD$ は

$$ \overrightarrow{AB}=(1,1,0),\quad \overrightarrow{AD}=(1,0,1) $$

を用いて

$$ P=A+u\overrightarrow{AB}+v\overrightarrow{AD}=(u+v,\ u,\ v)\qquad (0\le u\le 1,\ 0\le v\le 1) $$

と表せる平行四辺形である。

したがって、平面 $x=t$ との交わりは $u+v=t$ を満たす線分になる。これを $x$ 軸のまわりに回転したとき、切り口は円環になるので、まずその内半径・外半径を求めればよい。

解法1

点 $P(u,v)=(u+v,u,v)$ に対し、$x=t$ 上では

$$ u+v=t $$

であるから、

$$ P=(t,\ u,\ t-u) $$

と書ける。

この点の $x$ 軸からの距離 $r$ は

$$ r^2=u^2+(t-u)^2 $$

である。よって、切り口の面積はこの $r$ の最小値・最大値から決まる。

(i) $0\le t\le 1$ のとき

このとき $0\le u\le t$ である。

$$ r^2=u^2+(t-u)^2 =2\left(u-\frac t2\right)^2+\frac{t^2}{2} $$

より、最小値は $u=\dfrac t2$ のとき

$$ r_{\min}^2=\frac{t^2}{2} $$

である。

また、最大値は区間の端 $u=0,\ t$ でとり、

$$ r_{\max}^2=t^2 $$

となる。

したがって切り口は内半径 $\dfrac{t}{\sqrt2}$、外半径 $t$ の円環であるから、

$$ S(t)=\pi\left(r_{\max}^2-r_{\min}^2\right) =\pi\left(t^2-\frac{t^2}{2}\right) =\frac{\pi}{2}t^2 $$

である。

(ii) $1\le t\le 2$ のとき

このとき $0\le v=t-u\le 1$ も必要なので、

$$ t-1\le u\le 1 $$

である。

同様に

$$ r^2=2\left(u-\frac t2\right)^2+\frac{t^2}{2} $$

より、最小値は $u=\dfrac t2$ のとき

$$ r_{\min}^2=\frac{t^2}{2} $$

である。

最大値は端点 $u=t-1,\ 1$ でとり、

$$ r_{\max}^2=(t-1)^2+1 $$

となる。

したがって

$$ S(t)=\pi\left(r_{\max}^2-r_{\min}^2\right) =\pi\left((t-1)^2+1-\frac{t^2}{2}\right) $$

これを整理すると

$$ S(t)=\pi\left(\frac{t^2}{2}-2t+2\right) =\frac{\pi}{2}(t-2)^2 $$

である。

以上より、

$$ S(t)= \begin{cases} \dfrac{\pi}{2}t^2 & (0\le t\le 1),[6pt] \dfrac{\pi}{2}(t-2)^2 & (1\le t\le 2). \end{cases} $$

次に体積 $V$ は断面積の積分で与えられるから、

$$ V=\int_0^2 S(t),dt =\int_0^1 \frac{\pi}{2}t^2,dt+\int_1^2 \frac{\pi}{2}(t-2)^2,dt $$

である。

ここで

$$ \int_0^1 t^2,dt=\frac13,\qquad \int_1^2 (t-2)^2,dt=\int_0^1 s^2,ds=\frac13 $$

より、

$$ V=\frac{\pi}{2}\left(\frac13+\frac13\right)=\frac{\pi}{3} $$

となる。

解説

この問題の要点は、四角形をそのまま扱うのではなく

$$ (x,y,z)=(u+v,\ u,\ v)\qquad (0\le u,v\le 1) $$

とおいて平行四辺形として見ることである。

平面 $x=t$ で切ると、$u+v=t$ を満たす線分になる。その線分上の各点を回転すると、切り口は円環になるので、$x$ 軸からの距離

$$ r^2=u^2+(t-u)^2 $$

の最小値と最大値を求めればよい。

特に、$0\le t\le 1$ と $1\le t\le 2$ で $u$ の動く範囲が変わるため、場合分けが必要である。

答え

$$ S(t)= \begin{cases} \dfrac{\pi}{2}t^2 & (0\le t\le 1),\\[6pt] \dfrac{\pi}{2}(t-2)^2 & (1\le t\le 2) \end{cases} $$

体積は

$$ \frac{\pi}{3} $$

である。