東北大学 1992年 理系 第3問 解説

方針・初手

ベクトル $\overrightarrow{OP}$ は位置ベクトルであり、速度ベクトル $\vec v$ は $(x(t),y(t))$ を微分すればよい。

また、接線の傾きは媒介変数表示された曲線では

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt} $$

で与えられる。したがって、まず $x,y$ を微分して必要な量を直接求める。

解法1

位置ベクトルは

$$ \overrightarrow{OP}=(x,y)=\left(e^t\sin t,\ e^t\cos t\right) $$

である。

速度ベクトル $\vec v$ は

$$ \vec v=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right) $$

より、

$$ \frac{dx}{dt}=e^t\sin t+e^t\cos t=e^t(\sin t+\cos t), $$

$$ \frac{dy}{dt}=e^t\cos t-e^t\sin t=e^t(\cos t-\sin t) $$

だから、

$$ \vec v=\left(e^t(\sin t+\cos t),\ e^t(\cos t-\sin t)\right) $$

となる。

（1） $\vec v$ と $\overrightarrow{OP}$ のなす角

なす角を $\theta$ とすると、

$$ \cos\theta= \frac{\vec v\cdot \overrightarrow{OP}}{|\vec v|,|\overrightarrow{OP}|} $$

である。

まず内積を計算すると、

$$ \begin{aligned} \vec v\cdot \overrightarrow{OP} &=e^t(\sin t+\cos t)\cdot e^t\sin t+e^t(\cos t-\sin t)\cdot e^t\cos t \\ &=e^{2t}\left(\sin^2 t+\sin t\cos t+\cos^2 t-\sin t\cos t\right) \\ &=e^{2t}. \end{aligned} $$

次に大きさは、

$$ |\overrightarrow{OP}|=\sqrt{e^{2t}\sin^2 t+e^{2t}\cos^2 t}=e^t $$

であり、

$$ \begin{aligned} |\vec v| &=\sqrt{e^{2t}(\sin t+\cos t)^2+e^{2t}(\cos t-\sin t)^2} \\ &=e^t\sqrt{(\sin t+\cos t)^2+(\cos t-\sin t)^2} \\ &=e^t\sqrt{2}. \end{aligned} $$

したがって、

$$ \cos\theta=\frac{e^{2t}}{(e^t\sqrt2)(e^t)}=\frac{1}{\sqrt2}. $$

よって、

$$ \theta=\frac{\pi}{4} $$

である。

（2） $\displaystyle \int_0^{\pi/4} f(t),dt$

接線の傾き $f(t)$ は

$$ f(t)=\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt} =\frac{e^t(\cos t-\sin t)}{e^t(\sin t+\cos t)} =\frac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t} $$

である。

したがって、

$$ \int_0^{\pi/4} f(t),dt ====================== \int_0^{\pi/4}\frac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t},dt $$

となる。

ここで

$$ u=\sin t+\cos t $$

とおくと、

$$ du=(\cos t-\sin t),dt $$

だから、

$$ \int_0^{\pi/4}\frac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t},dt ==================================================== # \int \frac{1}{u},du \log u $$

となる。よって、

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/4} f(t),dt &=\left[\log(\sin t+\cos t)\right]_0^{\pi/4} \\ &=\log\left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\right)-\log(0+1) \\ &=\log\sqrt2 \\ &=\frac{1}{2}\log2. \end{aligned} $$

解説

（1） は、位置ベクトルと速度ベクトルのなす角を内積で求める典型問題である。媒介変数表示された運動では、まず速度ベクトルを微分で出すのが基本である。

（2） は、接線の傾きが $\dfrac{dy}{dx}$ であることを使う問題である。式を作ると分子がちょうど $\sin t+\cos t$ の微分になっており、そのまま対数型の積分に帰着する。

答え

$$ \text{(1)}\ \frac{\pi}{4} $$

$$ \text{(2)}\ \frac{1}{2}\log2 $$