東北大学 1995年 理系 第3問 解説

方針・初手

$1 \le n < m \le 20$ であり、取り出し方は順序を区別しないので、全事象は

$$ {}_{20}\mathrm{C}_{2}=190 $$

通りである。

また、$\left[\log_{10}\dfrac{m}{n}\right]$ という形が出てくるので、まず $\dfrac{m}{n}$ の範囲を対数の不等式に直して考えるのが自然である。

解法1

(1) $\left[\log_{10}\dfrac{m}{n}\right]=1$ となる組

$\left[\log_{10}\dfrac{m}{n}\right]=1$ であることは、

$$ 1 \le \log_{10}\frac{m}{n} < 2 $$

と同値である。よって、

$$ 10 \le \frac{m}{n} < 100 $$

となる。

ところが $1 \le n < m \le 20$ より

$$ \frac{m}{n} \le 20 $$

であるから、実際には

$$ \frac{m}{n} \ge 10 $$

だけを考えればよい。

すなわち

$$ m \ge 10n $$

である。

ここで $m \le 20$ だから、

• $n=1$ のとき $m=10,11,12,\dots,20$
• $n=2$ のとき $m=20$
• $n \ge 3$ のとき $10n \ge 30$ となり不可能

したがって、求める組 $(m,n)$ は

$$ (10,1),(11,1),(12,1),(13,1),(14,1),(15,1),(16,1),(17,1),(18,1),(19,1),(20,1),(20,2) $$

の $12$ 組である。

(2) $\log_{10}\dfrac{m}{n}<\left[\log_{10}\dfrac{m}{n}\right]+\log_{10}2$ となる確率

$x=\log_{10}\dfrac{m}{n}$ とおき、$[x]=k$ とする。すると条件は

$$ x<k+\log_{10}2 $$

であり、同時に $[x]=k$ だから

$$ k \le x < k+1 $$

でもある。したがって

$$ k \le \log_{10}\frac{m}{n} < k+\log_{10}2 $$

となるので、底を $10$ として指数をとると

$$ 10^k \le \frac{m}{n} < 2 \cdot 10^k $$

を得る。

ここで $1<\dfrac{m}{n}\le 20$ だから、$k$ は $0$ または $1$ である。

(i) $k=0$ の場合

このとき

$$ 1 \le \frac{m}{n} < 2 $$

であるが、$m>n$ なので実際には

$$ 1<\frac{m}{n}<2 $$

である。

これは

$$ n<m<2n $$

と同値である。

各 $n$ に対して数えると、

• $n=1$ のとき $0$ 個
• $n=2,3,\dots,10$ のとき個数はそれぞれ $1,2,\dots,9$
• $n=11,12,\dots,19$ のとき個数はそれぞれ $9,8,\dots,1$

よって個数は

$$ (1+2+\cdots+9)+(9+8+\cdots+1)=45+45=90 $$

通りである。

(ii) $k=1$ の場合

このとき

$$ 10 \le \frac{m}{n} < 20 $$

である。

これを満たすのは、

• $n=1$ のとき $m=10,11,\dots,19$ で $10$ 通り
• $n=2$ のとき $m=20$ で $1$ 通り
• $n \ge 3$ のとき不可能

したがって、この場合は

$$ 10+1=11 $$

通りである。

以上より、条件を満たす組は合計

$$ 90+11=101 $$

通りである。

したがって求める確率は

$$ \frac{101}{190} $$

である。

解説

この問題の要点は、床関数 $,[,]$ をそのまま扱わず、

$$ [a]=1 \iff 1 \le a < 2 $$

のように不等式へ直すことである。

また (2) では、$\left[\log_{10}\dfrac{m}{n}\right]$ を $k$ とおくと、条件が

$$ 10^k \le \frac{m}{n} < 2\cdot 10^k $$

という非常に見やすい形になる。あとは $\dfrac{m}{n}$ の取り得る範囲が $1$ から $20$ までであることを使って、$k=0,1$ の場合だけを数えればよい。

答え

$$ \text{(1)}\quad (m,n)=(10,1),(11,1),(12,1),(13,1),(14,1),(15,1),(16,1),(17,1),(18,1),(19,1),(20,1),(20,2) $$

$$ \text{(2)}\quad \frac{101}{190} $$