東北大学 2017年 理系 第2問 解説

方針・初手

各人の取り出し方は，$0,1,2,3,4,5$ から異なる3枚を選ぶので，全部で

$$ {}_{6}\mathrm{C}_{3}=20 $$

通りである。

したがって，まず1人分について「どの3枚を引いたとき得点がいくつになるか」を整理するのが最も確実である。2人は独立にカードを引くので，その結果を用いて確率を数え上げればよい。

解法1

1人分の3枚の選び方20通りと得点を整理する。

$0$ を含むときは，残り2枚の和が得点であるから，

$$ 012\to3,\ 013\to4,\ 014\to5,\ 015\to6,\ 023\to5,\ 024\to6,\ 025\to7,\ 034\to7,\ 035\to8,\ 045\to9 $$

となる。

$0$ を含まないときは，3枚の平均が得点であるから，

$$ 123\to2,\ 124\to\frac73,\ 125\to\frac83,\ 134\to\frac83,\ 135\to3,\ 145\to\frac{10}3,\ 234\to3,\ 235\to\frac{10}3,\ 245\to\frac{11}3,\ 345\to4 $$

となる。

よって，得点ごとの通り数は次のようになる。

$$ \begin{array}{c|cccccccccccc} \text{得点} & 2 & \frac73 & \frac83 & 3 & \frac{10}3 & \frac{11}3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \text{通り数} & 1 & 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $$

（1） 少なくとも一方が $0$ を取り出し，しかも双方とも得点が $3$ となる確率

得点が $3$ になる3枚の組は

$$ 012,\ 135,\ 234 $$

の3通りである。

このうち，$0$ を含むのは $012$ のみである。

したがって，A君・B君がともに得点 $3$ となる組合せは全部で

$$ 3\times 3=9 $$

通りであり，このうち「どちらも $0$ を引いていない」ものは

$$ 2\times 2=4 $$

通りである。

よって，求める組合せ数は

$$ 9-4=5 $$

通りである。

全事象は $20\times 20=400$ 通りなので，求める確率は

$$ \frac{5}{400}=\frac{1}{80} $$

である。

(2)

$A$ の得点が $B$ より大きいときの，$A$ の得点が整数ではない確率

条件付き確率であるから，

$$ \frac{P(A>B \text{ かつ } A\text{ の得点が整数でない})}{P(A>B)} $$

を求めればよい。

まず分母 $P(A>B)$ を求める。

A君とB君の得点分布は同じであり，2人は独立であるから，

$$ P(A>B)=P(B>A) $$

である。したがって，

$$ P(A>B)=\frac{1-P(A=B)}{2} $$

となる。

ここで，同点となる確率は，上の表の通り数を用いて

$$ P(A=B)=\frac{1^2+1^2+2^2+3^2+2^2+1^2+2^2+2^2+2^2+2^2+1^2+1^2}{20^2} =\frac{38}{400} =\frac{19}{200} $$

である。

よって，

$$ P(A>B)=\frac{1-\frac{19}{200}}{2} =\frac{181}{400} $$

となる。

次に分子を求める。

A君の得点が整数でないのは

$$ \frac73,\ \frac83,\ \frac{10}3,\ \frac{11}3 $$

の4種類である。それぞれについて，B君の得点がそれより小さい場合を数える。

(i)

$A=\dfrac73$ のとき

A君側は1通り，B君側でこれより小さいのは $2$ の1通りだけなので，

$$ 1\times 1=1 $$

通り。

(ii)

$A=\dfrac83$ のとき

A君側は2通り，B君側でこれより小さいのは $2,\dfrac73$ の計2通りなので，

$$ 2\times 2=4 $$

通り。

(iii)

$A=\dfrac{10}3$ のとき

A君側は2通り，B君側でこれより小さいのは

$$ 2,\ \frac73,\ \frac83,\ 3 $$

であり，通り数は

$$ 1+1+2+3=7 $$

通りなので，

$$ 2\times 7=14 $$

通り。

(iv)

$A=\dfrac{11}3$ のとき

A君側は1通り，B君側でこれより小さいのは

$$ 2,\ \frac73,\ \frac83,\ 3,\ \frac{10}3 $$

であり，通り数は

$$ 1+1+2+3+2=9 $$

通りなので，

$$ 1\times 9=9 $$

通り。

以上より，分子に対応する組合せ数は

$$ 1+4+14+9=28 $$

通りである。したがって，

$$ P(A>B \text{ かつ } A\text{ の得点が整数でない}) =\frac{28}{400} =\frac{7}{100} $$

となる。

よって求める条件付き確率は

$$ \frac{\frac{7}{100}}{\frac{181}{400}} =\frac{28}{181} $$

である。

解説

この問題の要点は，得点の定義が「$0$ を含むかどうか」で変わるため，まず1人分の得点分布を正確に作ることである。ここを曖昧にすると，（1） では「得点3になる場合」に $012$ 以外もあることを見落としやすく，（2） では条件付き確率の分母 $P(A>B)$ を直接数えようとして煩雑になりやすい。

（2） では，A君とB君が対称であることから

$$ P(A>B)=P(B>A)=\frac{1-P(A=B)}{2} $$

とするのが典型的な処理である。これにより計算量を大きく減らせる。

答え

$$ \text{(1)}\ \frac{1}{80} $$

$$ \text{(2)}\ \frac{28}{181} $$