東北大学 2017年 理系 第1問 解説

方針・初手

まず

$$ y=|x^2-4| $$

を場合分けして、曲線 $C$ を 2 つの放物線の一部として見る。

$$ y=|x^2-4|= \begin{cases} 4-x^2 & (-2\le x\le 2),\\ x^2-4 & (x\le -2,\ x\ge 2). \end{cases} $$

したがって、直線 $l:y=ax+b$ との共有点は

• 中央部分 $y=4-x^2$ との交点
• 外側部分 $y=x^2-4$ との交点

を別々に調べればよい。

解法1

(1)

$l$ が点 $(-2,0)$ を通るとき

$(-2,0)$ を通るので

$$ 0=-2a+b $$

より

$$ b=2a $$

である。

このとき $l$ は

$$ y=ax+2a $$

である。

中央部分 $y=4-x^2$ との交点:

$$ 4-x^2=ax+2a $$

より

$$ x^2+ax+2a-4=0 $$

である。これは $x=-2$ を解にもつので、

$$ x^2+ax+2a-4=(x+2)(x+a-2) $$

と因数分解できる。したがって、中央部分との交点の $x$ 座標は

$$ x=-2,\quad x=2-a $$

である。

ただし中央部分では $-2\le x\le 2$ だから、

$$ -2\le 2-a\le 2 $$

より

$$ 0\le a\le 4 $$

である。

外側部分 $y=x^2-4$ との交点:

$$ x^2-4=ax+2a $$

より

$$ x^2-ax-2a-4=0 $$

である。これも $x=-2$ を解にもつので、

$$ x^2-ax-2a-4=(x+2)(x-a-2) $$

と因数分解できる。したがって、外側部分との交点の $x$ 座標は

$$ x=-2,\quad x=a+2 $$

である。

外側部分では $x\le -2$ または $x\ge 2$ だから、

$$ a\le -4 \quad \text{または} \quad a\ge 0 $$

である。

共有点がちょうど 3 個となる条件:

すでに $x=-2$ は共有点である。さらに

• 中央部分で $x=2-a$ が新たな共有点となるには $0\le a\le 4$
• 外側部分で $x=a+2$ が新たな共有点となるには $a\le -4$ または $a\ge 0$

である。

$0<a<4$ のとき

• $2-a\in(-2,2)$
• $a+2>2$

となるから、共有点は

$$ x=-2,\quad x=2-a,\quad x=a+2 $$

の 3 個である。

一方、

• $a=0$ では $x=2-a$ と $x=a+2$ がともに $2$ となり、共有点は 2 個
• $a=4$ では $x=2-a=-2$ となり、共有点は 2 個

である。

したがって条件は

$$ 0<a<4,\qquad b=2a $$

である。

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(2)

$l$ と $C$ がちょうど 3 個の共有点をもつときの $(a,b)$ の軌跡

共有点の個数が奇数個になるには、次のどちらかである。

• 直線が折れ曲がり点 $(\pm2,0)$ を通る場合
• どちらか一方の放物線に接する場合

以下、場合分けする。

(i)

$l$ が $(\pm2,0)$ を通る場合

$(-2,0)$ を通る場合は （1） より

$$ b=2a,\qquad 0<a<4 $$

である。

$C$ は $y$ 軸対称だから、$(2,0)$ を通る場合はこれを左右反転した場合に対応し、

$$ b=-2a,\qquad -4<a<0 $$

である。

したがって、この場合の軌跡は

$$ b=2a\quad(0<a<4),\qquad b=-2a\quad(-4<a<0) $$

である。

(ii)

$l$ が中央部分 $y=4-x^2$ に接する場合

接点の $x$ 座標を $t$ とする。ただし $-2<t<2$ である。

$y=4-x^2$ の接線の傾きは $-2t$ だから、接線は

$$ y=-2t(x-t)+4-t^2=-2tx+t^2+4 $$

である。

よって

$$ a=-2t,\qquad b=t^2+4 $$

となるから、

$$ b=\frac{a^2}{4}+4 $$

を得る。

また $-2<t<2$ より

$$ -4<a<4 $$

である。

このとき本当に共有点が 3 個になることを確かめる。

外側部分との交点は

$$ x^2+2tx-(t^2+8)=0 $$

であり、この 2 解の積は $-(t^2+8)<0$ だから、2 解は異符号である。しかも積の絶対値は $t^2+8>8$ なので、それぞれ $x>2$、$x<-2$ となる。

したがって、外側部分で 2 個、中央部分で接点 1 個、合計 3 個の共有点をもつ。

よって、この場合の軌跡は

$$ b=\frac{a^2}{4}+4\qquad (-4<a<4) $$

である。

(iii)

$l$ が外側部分 $y=x^2-4$ に接する場合

接点の $x$ 座標を $s$（$|s|\ge 2$）とすると、接線は

$$ y=2sx-s^2-4 $$

である。これと中央部分との交点は

$$ x^2+2sx-(s^2+8)=0 $$

であり、解は $x=-s\pm\sqrt{2s^2+8}$ となる。$|s|>2$ ならどちらも区間 $[-2,2]$ に入らず、$|s|=2$ のときは端点 $(\pm2,0)$ を与えるだけである。

したがって、この場合は共有点は 3 個にならない。

以上より、求める軌跡は （i） と （ii） の和集合である。

解説

この問題の要点は、$y=|x^2-4|$ を 1 本の曲線として眺めるのではなく、

• 中央の下に開く放物線 $y=4-x^2$
• 外側の上に開く放物線 $y=x^2-4$

に分けて考えることである。

共有点が 3 個という奇数になるのは、普通の「2 次方程式どうしの交点個数」から考えると特殊である。したがって、

• 折れ曲がり点 $(\pm2,0)$ を通って重なりが 1 つ減る
• どこかで接して 2 個が 1 個に縮む

という発想が重要である。

特に （2） では、この「奇数個になる理由」を先に整理すると見通しが立つ。

答え

$$ \text{(1)}\quad 0<a<4,\qquad b=2a $$

$$ \text{(2)}\quad \left\{(a,b)\ \middle|\ b=\frac{a^2}{4}+4,\ -4<a<4\right\} \cup \left\{(a,b)\ \middle|\ b=2a,\ 0<a<4\right\} \cup \left\{(a,b)\ \middle|\ b=-2a,\ -4<a<0\right\} $$

すなわち、$ab$ 平面では

• 放物線 $b=\dfrac{a^2}{4}+4$ の $-4<a<4$ の部分
• 直線 $b=2a$ の $0<a<4$ の部分
• 直線 $b=-2a$ の $-4<a<0$ の部分

である。