東北大学 2018年 理系 第1問 解説

方針・初手

交点の (x) 座標を (x_1,x_2) とおく。

条件は「2つの交点の (x) 座標の差が (1)」なので、交点の方程式を作り、解と係数の関係から頂点 ((a,b)) の条件を求める。

解法1

[ C:y=(x-a)^2+b,\qquad D:y=-x^2 ]

の交点は

[ (x-a)^2+b=-x^2 ]

すなわち

[ 2x^2-2ax+a^2+b=0 ]

の解である。

この2つの解を (x_1,x_2) とすると、解と係数の関係より

[ x_1+x_2=a,\qquad x_1x_2=\frac{a^2+b}{2} ]

である。

2つの交点の (x) 座標の差が (1) だから、

[ (x_1-x_2)^2=1 ]

である。一方、

[ \begin{aligned} (x_1-x_2)^2 &=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\ &=a^2-4\cdot \frac{a^2+b}{2}\ &=-a^2-2b \end{aligned} ]

となる。したがって

[ -a^2-2b=1 ]

より

[ b=-\frac{a^2+1}{2} ]

である。

よって、放物線 (C) の頂点 ((a,b)) の軌跡は

[ y=-\frac{x^2+1}{2} ]

である。

次に、2つの交点を結ぶ直線が通過する範囲を求める。

[ (x_1-x_2)^2=1,\qquad x_1+x_2=a ]

より

[ x_1=\frac{a-1}{2},\qquad x_2=\frac{a+1}{2} ]

とおける。

2つの交点は放物線 (D:y=-x^2) 上にあるので、点

[ \left(x_1,-x_1^2\right),\qquad \left(x_2,-x_2^2\right) ]

を結ぶ直線を考える。

この直線の傾きは

[ \frac{-x_2^2+x_1^2}{x_2-x_1}=-(x_1+x_2)=-a ]

である。また、切片は

[ x_1x_2=\frac{a^2-1}{4} ]

だから、直線の方程式は

[ y=-ax+\frac{a^2-1}{4} ]

である。

点 ((x,y)) がこの直線のどれかを通るための条件を求める。上の式を (a) について整理すると

[ a^2-4xa-(4y+1)=0 ]

である。

これを満たす実数 (a) が存在すればよいので、判別式が (0) 以上であればよい。

[ \begin{aligned} \Delta &=(-4x)^2-4\cdot 1\cdot (-(4y+1))\ &=16x^2+16y+4 \end{aligned} ]

したがって

[ 16x^2+16y+4\ge 0 ]

すなわち

[ y\ge -x^2-\frac14 ]

である。

解説

前半では、交点の (x) 座標の差という条件をそのまま使うのではなく、

[ (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2 ]

に直して、解と係数の関係で処理する。

後半では、2交点を結ぶ直線をパラメータ (a) で表し、その直線族が通る点全体を求める。最後は「ある実数 (a) が存在する」条件なので、2次方程式の判別式で範囲が決まる。

境界

[ y=-x^2-\frac14 ]

も含まれるので、求める範囲はこの放物線上およびその上側である。

答え

[ \boxed{,y=-\frac{x^2+1}{2},} ]

[ \boxed{,y\ge -x^2-\frac14,} ]