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東北大学 2024年理系第1問解説

方針・初手

頂点 $A$ を求めると，直線 $OA$ の式がすぐに定まる。これと放物線 $C$ との交点から $p$ を求める。

また，$O$ からの接線の接点 $Q(q,f(q))$ については，「接線が原点を通る」ことから，接線の傾きが

$$ \frac{f(q)}{q} $$

であると同時に

$$ f'(q) $$

でもあることを用いれば $q$ が決まる。

面積 $S$ は，$x$ の範囲によって下側の境界が直線 $OQ$ と放物線 $C$ に分かれるので，積分を分けて求める。

解法1

放物線

$$ y=f(x)=x^2-2ax+4a^2 $$

は

$$ f(x)=(x-a)^2+3a^2 $$

と変形できるので，頂点は

$$ A(a,,3a^2) $$

である。

したがって，直線 $OA$ は原点と $A$ を通るから，

$$ y=3ax $$

である。

この直線と放物線 $C$ の交点は

$$ x^2-2ax+4a^2=3ax $$

すなわち

$$ x^2-5ax+4a^2=0 $$

を満たす。因数分解すると

$$ (x-a)(x-4a)=0 $$

となる。

このうち $x=a$ は頂点 $A$ に対応するから，$A$ と異なる交点 $P$ の $x$ 座標は

$$ p=4a $$

である。

次に，$Q(q,f(q))$ を接点とする $O$ からの接線を考える。接線は原点 $O$ と $Q$ を通るので，その傾きは

$$ \frac{f(q)}{q} $$

である。一方，接線の傾きは微分係数 $f'(q)$ に等しいから，

$$ \frac{f(q)}{q}=f'(q) $$

が成り立つ。

ここで

$$ f(q)=q^2-2aq+4a^2,\qquad f'(q)=2q-2a $$

より，

$$ \frac{q^2-2aq+4a^2}{q}=2q-2a $$

となる。両辺に $q$ を掛けると

$$ q^2-2aq+4a^2=2q^2-2aq $$

すなわち

$$ q^2=4a^2 $$

である。$a>0$ かつ $q>0$ より

$$ q=2a $$

となる。

よって

$$ p=4a,\qquad q=2a $$

であり，

$$ p-q=4a-2a=2a>0 $$

だから

$$ p>q $$

が示された。

次に面積 $S$ を求める。

点 $P$ は直線 $OP$ 上にあり，その座標は

$$ P(4a,,f(4a))=(4a,,12a^2) $$

であるから，直線 $OP$ の式は

$$ y=3ax $$

である。

また，$Q=(2a,f(2a))=(2a,4a^2)$ であり，接線 $OQ$ の傾きは

$$ \frac{4a^2}{2a}=2a $$

なので，直線 $OQ$ の式は

$$ y=2ax $$

である。

ここで，放物線と各直線との差を調べる。

まず，

$$ f(x)-2ax=x^2-4ax+4a^2=(x-2a)^2\ge 0 $$

より，放物線 $C$ は直線 $OQ$ の上側にある。

また，

$$ f(x)-3ax=x^2-5ax+4a^2=(x-a)(x-4a) $$

であり，$2a\le x\le 4a$ では $x-a>0,\ x-4a\le 0$ だから

$$ f(x)-3ax\le 0 $$

すなわち，この範囲では放物線 $C$ は直線 $OP$ の下側にある。

したがって，求める面積は

$$ S=\int_0^{2a}(3ax-2ax),dx+\int_{2a}^{4a}{3ax-f(x)},dx $$

である。

まず，

$$ \int_0^{2a}(3ax-2ax),dx=\int_0^{2a}ax,dx = a\cdot \frac{(2a)^2}{2}=2a^3 $$

である。

次に，

$$ 3ax-f(x)=3ax-(x^2-2ax+4a^2)=-x^2+5ax-4a^2 $$

なので，

$$ \int_{2a}^{4a}(3ax-f(x)),dx =\int_{2a}^{4a}(-x^2+5ax-4a^2),dx $$

を計算する。

原始関数は

$$ -\frac{x^3}{3}+\frac{5a}{2}x^2-4a^2x $$

であるから，

$$ \begin{aligned} \int_{2a}^{4a}(3ax-f(x)),dx &=\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{5a}{2}x^2-4a^2x\right]_{2a}^{4a} \\ &=\left(-\frac{64}{3}+40-16\right)a^3-\left(-\frac{8}{3}+10-8\right)a^3 \\ &=\frac{8}{3}a^3-\left(-\frac{2}{3}a^3\right) \\ &=\frac{10}{3}a^3 \end{aligned} $$

となる。

よって

$$ S=2a^3+\frac{10}{3}a^3=\frac{16}{3}a^3 $$

である。

最後に，$S=\dfrac{2}{3}$ のときの $a$ を求める。

$$ \frac{16}{3}a^3=\frac{2}{3} $$

より，

$$ 16a^3=2 $$

すなわち

$$ a^3=\frac{1}{8} $$

であるから，

$$ a=\frac{1}{2} $$