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九州大学 2024年文系第1問解説

方針・初手

(1) 2つの放物線の共通接線を求める問題である。解法としては、一方の放物線上の接点を文字でおいて接線の方程式を立て、それがもう一方の放物線と接する条件（連立して判別式 $D=0$）を用いる方法が標準的である。また、求める接線をはじめから $y=mx+n$ とおき、2つの放物線それぞれと連立して2つの判別式を利用する方法もある。

(2) 面積を求めるためには、積分区間と上下関係を明らかにする必要がある。まずは2つの放物線の交点、および直線とそれぞれの放物線の接点の $x$ 座標を求める。被積分関数は「（放物線）ー（接線）」の形になるため、必ず $a(x-\alpha)^2$ の形に平方完成されることを利用すると計算が容易になる。

解法1

(1) 放物線 $C_1 : y = 2x^2$ 上の点 $(t, 2t^2)$ における接線の方程式を求める。 $y' = 4x$ より、接線の傾きは $4t$ であるから、その方程式は

$$y - 2t^2 = 4t(x - t)$$

$$y = 4tx - 2t^2$$

これが直線 $l$ の方程式である。直線 $l$ が放物線 $C_2 : y = 2x^2 - 8x + 16$ にも接するための条件を求める。両辺を連立して、

$$2x^2 - 8x + 16 = 4tx - 2t^2$$

整理すると、

$$2x^2 - 2(2t + 4)x + 2t^2 + 16 = 0$$

$$x^2 - (2t + 4)x + t^2 + 8 = 0$$

この $x$ についての2次方程式が重解をもつので、判別式を $D$ とすると $D = 0$ である。

$$\frac{D}{4} = (t + 2)^2 - (t^2 + 8) = 0$$

$$t^2 + 4t + 4 - t^2 - 8 = 0$$

$$4t - 4 = 0$$

よって、$t = 1$ を得る。これを直線 $l$ の式に代入して、求める方程式は

$$y = 4x - 2$$

(2) 2つの放物線 $C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標を求める。

$$2x^2 = 2x^2 - 8x + 16$$

$$8x = 16$$

$$x = 2$$

また、(1)の計算より、直線 $l$ と $C_1$ の接点の $x$ 座標は $t=1$ である。直線 $l$ と $C_2$ の接点の $x$ 座標は、方程式 $x^2 - (2t + 4)x + t^2 + 8 = 0$ に $t=1$ を代入して、

$$x^2 - 6x + 9 = 0$$

$$(x - 3)^2 = 0$$

よって、$x = 3$ である。求める面積 $S$ は、区間 $1 \leqq x \leqq 2$ で $C_1$ と $l$ に囲まれた部分、区間 $2 \leqq x \leqq 3$ で $C_2$ と $l$ に囲まれた部分の和である。放物線が直線上側にあるため、面積 $S$ は

$$S = \int_{1}^{2} \{ 2x^2 - (4x - 2) \} dx + \int_{2}^{3} \{ (2x^2 - 8x + 16) - (4x - 2) \} dx$$

$$S = \int_{1}^{2} (2x^2 - 4x + 2) dx + \int_{2}^{3} (2x^2 - 12x + 18) dx$$

$$S = 2 \int_{1}^{2} (x - 1)^2 dx + 2 \int_{2}^{3} (x - 3)^2 dx$$

$$S = 2 \left[ \frac{1}{3} (x - 1)^3 \right]_{1}^{2} + 2 \left[ \frac{1}{3} (x - 3)^3 \right]_{2}^{3}$$

$$S = \frac{2}{3} (1^3 - 0) + \frac{2}{3} (0 - (-1)^3)$$

$$S = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$$

解法2

以下は(1)の別解である。

直線 $l$ の方程式を $y = mx + n$ とおく。直線 $l$ は放物線 $C_1 : y = 2x^2$ と接するので、方程式 $2x^2 = mx + n$、すなわち

$$2x^2 - mx - n = 0$$

の判別式を $D_1$ とすると、$D_1 = 0$ である。

$$D_1 = (-m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-n) = 0$$

$$m^2 + 8n = 0$$

よって、$8n = -m^2$ となる。次に、直線 $l$ は放物線 $C_2 : y = 2x^2 - 8x + 16$ とも接するので、方程式 $2x^2 - 8x + 16 = mx + n$、すなわち

$$2x^2 - (m + 8)x + 16 - n = 0$$

の判別式を $D_2$ とすると、$D_2 = 0$ である。

$$D_2 = (m + 8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (16 - n) = 0$$

$$(m + 8)^2 - 128 + 8n = 0$$

これに先ほど求めた $8n = -m^2$ を代入して、

$$m^2 + 16m + 64 - 128 - m^2 = 0$$

$$16m - 64 = 0$$

$$m = 4$$

このとき、$n = -\frac{4^2}{8} = -2$ となる。したがって、求める直線 $l$ の方程式は

$$y = 4x - 2$$

解説

共通接線の方程式は、一方の接線を立式して他方と判別式を用いる（解法1）か、初めから接線を $y=mx+n$ とおいて両方と判別式を用いる（解法2）方法が定石である。今回のような2次関数同士であれば、どちらの解法を用いても計算量は大きく変わらない。
(2) の面積計算において、$\int (ax^2+bx+c) dx$ のような展開した形での積分ではなく、$\int a(x-\alpha)^2 dx = \frac{a}{3}(x-\alpha)^3 + C$ の公式を利用すると、分数の計算が最後のみになるため計算ミスを大きく減らすことができる。
放物線と接線の間の面積を求める際の被積分関数は、接点の $x$ 座標を $\alpha$ とすると必ず $a(x- \alpha)^2$ の形にまとまるという性質がある。この事実を意識して式変形を進めることが重要である。