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東京工業大学 1961年理系第2問解説

方針・初手

与えられた通過点の条件 $f(0)=1, f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$ から、$b, c$ をそれぞれ $a$ を用いて表す。

式に代入すると $\sin x$ と $\cos x$ の1次式が現れるため、三角関数の合成を用いて $f(x)$ を一つのサイン関数にまとめる。

指定された $x$ の範囲における合成後の正弦の取り得る値の範囲を求め、その範囲において $f(x)$ の最大値と最小値が $-2$ 以上 $2$ 以下となるような $a$ の条件を立式する。

解法1

関数 $f(x) = a + b\cos x + c\sin x$ のグラフが点 $(0, 1)$ を通るので、

$$ f(0) = a + b = 1 $$

よって、$b = 1 - a$ となる。

また、グラフが点 $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ を通るので、

$$ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = a + c = 1 $$

よって、$c = 1 - a$ となる。

これらを $f(x)$ の式に代入して整理する。

$$ \begin{aligned} f(x) &= a + (1 - a)\cos x + (1 - a)\sin x \\ &= a + (1 - a)(\sin x + \cos x) \end{aligned} $$

三角関数の合成を用いると、次のように変形できる。

$$ f(x) = a + \sqrt{2}(1 - a)\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) $$

ここで、$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ であるから、角 $x + \frac{\pi}{4}$ のとりうる範囲は以下のようになる。

$$ \frac{\pi}{4} \leqq x + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{3}{4}\pi $$

この範囲において、正弦の値のとりうる範囲は以下の通りである。

$$ \frac{1}{\sqrt{2}} \leqq \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leqq 1 $$

$t = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ とおき、$f(x)$ を $t$ の関数として $g(t)$ と表す。

$$ g(t) = a + \sqrt{2}(1 - a)t \quad \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq t \leqq 1\right) $$

条件 $|f(x)| \leqq 2$ は、区間 $\left[\frac{1}{\sqrt{2}}, 1\right]$ にあるすべての $t$ に対して、$-2 \leqq g(t) \leqq 2$ が成り立つことと同値である。

関数 $g(t)$ は $t$ についての1次以下の整式（直線または定数関数）であるため、閉区間における関数の値域は、定義域の両端における関数の値を端点とする区間となる。

したがって、すべての $t$ で $-2 \leqq g(t) \leqq 2$ が成り立つための必要十分条件は、端点における値がともに $-2$ 以上 $2$ 以下となることである。

$$ -2 \leqq g\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \leqq 2 \quad \text{かつ} \quad -2 \leqq g(1) \leqq 2 $$

まず、$g\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ を計算する。

$$ g\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = a + \sqrt{2}(1 - a) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = a + 1 - a = 1 $$

これは $a$ の値によらず $-2 \leqq 1 \leqq 2$ を満たすため、常に成り立つ。

次に、$g(1)$ について考える。

$$ g(1) = a + \sqrt{2}(1 - a) = (1 - \sqrt{2})a + \sqrt{2} $$

これが $-2 \leqq g(1) \leqq 2$ を満たすので、

$$ -2 \leqq (1 - \sqrt{2})a + \sqrt{2} \leqq 2 $$

各辺から $\sqrt{2}$ を引く。

$$ -2 - \sqrt{2} \leqq (1 - \sqrt{2})a \leqq 2 - \sqrt{2} $$

$1 - \sqrt{2} < 0$ であることに注意して、各辺を $1 - \sqrt{2}$ で割る。このとき不等号の向きが変わる。

$$ \frac{2 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} \leqq a \leqq \frac{-2 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} $$

左辺と右辺をそれぞれ有理化して計算する。

$$ \frac{2 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{-(\sqrt{2} - 1)} = -\sqrt{2} $$

$$ \frac{-2 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(2 + \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{2\sqrt{2} + 2 + 2 + \sqrt{2}}{2 - 1} = 4 + 3\sqrt{2} $$

したがって、求める $a$ の値の範囲は以下のようになる。

$$ -\sqrt{2} \leqq a \leqq 4 + 3\sqrt{2} $$

解法2

$t = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ とおき、$\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq t \leqq 1$ における関数 $g(t) = a + \sqrt{2}(1 - a)t$ を考えるところまでは解法1と同様である。

$t$ の係数である $\sqrt{2}(1 - a)$ の符号によって $g(t)$ の増減が変わるため、場合分けをして考える。

(i)

$1 - a > 0$ すなわち $a < 1$ のとき

$g(t)$ は $t$ について単調増加となる。したがって、最小値は $g\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$、最大値は $g(1)$ となる。

$$ g\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 1 $$

$$ g(1) = (1 - \sqrt{2})a + \sqrt{2} $$

条件は $-2 \leqq (\text{最小値})$ かつ $(\text{最大値}) \leqq 2$ であるから、

$$ -2 \leqq 1 \quad \text{かつ} \quad (1 - \sqrt{2})a + \sqrt{2} \leqq 2 $$

前者は常に成り立つ。後者の不等式を解くと、

$$ (1 - \sqrt{2})a \leqq 2 - \sqrt{2} $$

$1 - \sqrt{2} < 0$ より、

$$ a \geqq \frac{2 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = -\sqrt{2} $$

$a < 1$ の条件と合わせて、

$$ -\sqrt{2} \leqq a < 1 $$

(ii)

$1 - a = 0$ すなわち $a = 1$ のとき

$g(t) = 1$ （定数関数）となる。

常に $-2 \leqq 1 \leqq 2$ を満たすため、$a = 1$ は条件に適する。

(iii)

$1 - a < 0$ すなわち $a > 1$ のとき

$g(t)$ は $t$ について単調減少となる。したがって、最小値は $g(1)$、最大値は $g\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ となる。

条件は $-2 \leqq (\text{最小値})$ かつ $(\text{最大値}) \leqq 2$ であるから、

$$ -2 \leqq (1 - \sqrt{2})a + \sqrt{2} \quad \text{かつ} \quad 1 \leqq 2 $$

後者は常に成り立つ。前者の不等式を解くと、

$$ -2 - \sqrt{2} \leqq (1 - \sqrt{2})a $$

$1 - \sqrt{2} < 0$ より、

$$ a \leqq \frac{-2 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = 4 + 3\sqrt{2} $$

$a > 1$ の条件と合わせて、

$$ 1 < a \leqq 4 + 3\sqrt{2} $$

以上（i）, （ii）, （iii）より、求める $a$ の値の範囲はこれらを合わせて以下のようになる。

$$ -\sqrt{2} \leqq a \leqq 4 + 3\sqrt{2} $$

解説

2つの通過点の条件から未知数を減らし、三角関数の合成を用いて1つの変数の関数に帰着させる典型的な問題である。

変数を $t = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ と置き換えた後、$t$ の1次関数として処理する。1次関数（直線）が特定の区間内で一定の値の範囲に収まる条件は、「区間の両端における関数の値がその範囲に収まること」と言い換えられる（解法1）。この性質を利用すると、傾きの符号による場合分けを省略でき、解答の見通しが非常に良くなる。

もちろん、直線の傾きの符号で場合分けして最大値と最小値を明確に求めるアプローチ（解法2）も、論理的に確実であり重要な考え方である。