東京工業大学 1973年 理系 第3問 解説

方針・初手

問題に与えられた複数の変数のうち、$y$ については $y \leqq \cos(\pi\beta)$ という独立した条件が与えられています。まずはこの条件を用いて $y$ を消去し、不等式を $x, \alpha, \beta$ の関係式に帰着させることが第一歩です。

その後、三角関数の加法定理を用いて式を整理することで $(0以上) \leqq (0以下)$ の形を作り出すか、あるいは $x$ について解いてから残りの部分を $\alpha$ の関数とみて最小値を調べることで、$x$ の値が $1$ に限定されることを示します。

解法1

条件より $0 \leqq \alpha < \pi$、$0 < \beta < \frac{1}{2}$ であるから、 $$ 0 \leqq \alpha\beta < \frac{\pi}{2} $$ よって、$\sin(\alpha\beta) \geqq 0$ である。 仮定より $y \leqq \cos(\pi\beta)$ であるから、両辺に $\sin(\alpha\beta)$ を掛けると、 $$ y\sin(\alpha\beta) \leqq \cos(\pi\beta)\sin(\alpha\beta) $$ が成り立つ。これを問題の不等式 $$ \sin(\pi\beta) \leqq y\sin(\alpha\beta) + x\sin\{(\pi-\alpha)\beta\} $$ に適用すると、 $$ \sin(\pi\beta) \leqq \cos(\pi\beta)\sin(\alpha\beta) + x\sin\{(\pi-\alpha)\beta\} $$ を得る。

ここで、三角関数の加法定理より、 $$ \sin\{(\pi-\alpha)\beta\} = \sin(\pi\beta - \alpha\beta) = \sin(\pi\beta)\cos(\alpha\beta) - \cos(\pi\beta)\sin(\alpha\beta) $$ であるから、これを変形して $$ \cos(\pi\beta)\sin(\alpha\beta) = \sin(\pi\beta)\cos(\alpha\beta) - \sin\{(\pi-\alpha)\beta\} $$ とする。これを先の不等式に代入すると、 $$ \sin(\pi\beta) \leqq \sin(\pi\beta)\cos(\alpha\beta) - \sin\{(\pi-\alpha)\beta\} + x\sin\{(\pi-\alpha)\beta\} $$ 項を整理して、 $$ \sin(\pi\beta)\{1 - \cos(\alpha\beta)\} \leqq (x - 1)\sin\{(\pi-\alpha)\beta\} $$ を得る。

各因数の符号を調べる。 $0 < \beta < \frac{1}{2}$ より $0 < \pi\beta < \frac{\pi}{2}$ であるから、 $$ \sin(\pi\beta) > 0 $$ また、$\cos(\alpha\beta) \leqq 1$ より $1 - \cos(\alpha\beta) \geqq 0$ である。 したがって、左辺は $0$ 以上である。 $$ \sin(\pi\beta)\{1 - \cos(\alpha\beta)\} \geqq 0 $$

一方、$0 \leqq \alpha < \pi$、$0 < \beta < \frac{1}{2}$ より、 $$ 0 < (\pi-\alpha)\beta \leqq \pi\beta < \frac{\pi}{2} $$ であるから、 $$ \sin\{(\pi-\alpha)\beta\} > 0 $$ さらに、条件より $0 \leqq x \leqq 1$ であるから $x - 1 \leqq 0$ である。 したがって、右辺は $0$ 以下である。 $$ (x - 1)\sin\{(\pi-\alpha)\beta\} \leqq 0 $$

以上より、左辺が $0$ 以上かつ右辺が $0$ 以下であるから、この不等式が成り立つためには両辺がともに $0$ でなければならない。 右辺が $0$ となる条件について、$\sin\{(\pi-\alpha)\beta\} > 0$ であるから、 $$ x - 1 = 0 $$ ゆえに、$x = 1$ が導かれる。

解法2

解法1と同様にして、$y$ を消去した以下の不等式を導く。 $$ \sin(\pi\beta) \leqq \cos(\pi\beta)\sin(\alpha\beta) + x\sin\{(\pi-\alpha)\beta\} $$

$0 \leqq \alpha < \pi$、$0 < \beta < \frac{1}{2}$ より $0 < (\pi-\alpha)\beta < \frac{\pi}{2}$ であるから、$\sin\{(\pi-\alpha)\beta\} > 0$ である。 両辺をこれで割って $x$ について解くと、 $$ x \geqq \frac{\sin(\pi\beta) - \cos(\pi\beta)\sin(\alpha\beta)}{\sin\{(\pi-\alpha)\beta\}} $$ 右辺を $\alpha$ の関数とみて $f(\alpha)$ とおく。 $$ f(\alpha) = \frac{\sin(\pi\beta) - \cos(\pi\beta)\sin(\alpha\beta)}{\sin\{(\pi-\alpha)\beta\}} $$

$f(\alpha)$ を $\alpha$ について微分する。商の微分公式を用いて、 $$ f'(\alpha) = \frac{-\beta\cos(\pi\beta)\cos(\alpha\beta)\sin\{(\pi-\alpha)\beta\} - \{\sin(\pi\beta) - \cos(\pi\beta)\sin(\alpha\beta)\}\{-\beta\cos\{(\pi-\alpha)\beta\}\}}{\sin^2\{(\pi-\alpha)\beta\}} $$ 分子を $\beta$ でくくり、$\cos(\pi\beta)$ を含む項をまとめる。 $$ \begin{aligned} (\text{分子}) &= \beta [ \sin(\pi\beta)\cos\{(\pi-\alpha)\beta\} - \cos(\pi\beta) \{ \sin\{(\pi-\alpha)\beta\}\cos(\alpha\beta) + \cos\{(\pi-\alpha)\beta\}\sin(\alpha\beta) \} ] \end{aligned} $$ 加法定理 $\sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$ を用いると、中括弧の中身は $$ \sin\{(\pi-\alpha)\beta + \alpha\beta\} = \sin(\pi\beta) $$ となるから、分子は $$ \beta \{ \sin(\pi\beta)\cos\{(\pi-\alpha)\beta\} - \cos(\pi\beta)\sin(\pi\beta) \} = \beta\sin(\pi\beta) [ \cos\{(\pi-\alpha)\beta\} - \cos(\pi\beta) ] $$ となる。よって、導関数は $$ f'(\alpha) = \frac{\beta\sin(\pi\beta) [ \cos\{(\pi-\alpha)\beta\} - \cos(\pi\beta) ]}{\sin^2\{(\pi-\alpha)\beta\}} $$ と表される。

ここで、$0 < \beta < \frac{1}{2}$ より $\sin(\pi\beta) > 0$ である。 また、$\alpha > 0$ のとき、$0 < (\pi-\alpha)\beta < \pi\beta < \frac{\pi}{2}$ であり、関数 $\cos t$ は $0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ において単調減少であるから、 $$ \cos\{(\pi-\alpha)\beta\} > \cos(\pi\beta) $$ したがって、$\alpha > 0$ の範囲で $f'(\alpha) > 0$ となり、$f(\alpha)$ は単調増加する。 ゆえに、$f(\alpha) \geqq f(0)$ が成り立つ。 $f(0)$ を計算すると、 $$ f(0) = \frac{\sin(\pi\beta) - 0}{\sin(\pi\beta)} = 1 $$ であるから、$f(\alpha) \geqq 1$ となる。 したがって、元の不等式より $$ x \geqq f(\alpha) \geqq 1 $$ となる。一方、問題の条件より $x \leqq 1$ であるから、これらを同時に満たすのは $x = 1$ のみである。

解説

複数の変数が入り混じった不等式から、特定の変数の値を決定する問題です。 不等式評価の基本として、独立して動ける変数の条件（本問では $y \leqq \cos(\pi\beta)$）を最大限に活用し、考えるべき文字を減らすことが初手になります。

解法1のように加法定理を用いて因数分解に似た形を作り、各ブロックの符号を調べることで $(0以上) \leqq (0以下)$ という強い制約を見抜くのが最も鮮やかな解法です。 一方で解法2のように、主役となる文字（$x$）について不等式を解き、残りの部分を関数とみなして微分（あるいは変形）によって値域を調べる手法も、関数の最大・最小を扱う際の王道であり汎用性が高いです。

いずれの解法においても、与えられた角が第1象限にあることを確認し、三角関数の符号や単調性を正しく評価する丁寧な論証が求められます。

答え

$$ x = 1 $$