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東京工業大学 1962年理系第4問解説

方針・初手

2変数 $x, y$ が互いに独立して動く関数の最大値を求める問題である。変数が複数の場合は、「1文字を固定して、もう1文字の関数として最大・最小を考える」という予選決勝法が定石である。今回は与えられた式が $x$ の項と $y$ の項にうまく分離できる形をしているため、まずは式の一部を三角関数の合成によってまとめる。

解法1

与えられた式を $f(x, y)$ とおく。

$$ f(x, y) = 2 \sin x + \cos x (\sqrt{3} \sin y + \cos y) $$

$y$ についての式を三角関数の合成を用いて変形すると、

$$ \sqrt{3} \sin y + \cos y = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin y + \frac{1}{2} \cos y \right) = 2 \sin \left( y + \frac{\pi}{6} \right) $$

となる。したがって $f(x, y)$ は次のように表せる。

$$ f(x, y) = 2 \sin x + 2 \cos x \sin \left( y + \frac{\pi}{6} \right) $$

$x, y$ はそれぞれ独立に $0 \leqq x < 2\pi$, $0 \leqq y < 2\pi$ の範囲を動く。ここで $x$ を固定して考えると、$0 \leqq y < 2\pi$ より $\frac{\pi}{6} \leqq y + \frac{\pi}{6} < \frac{13}{6}\pi$ であるから、$\sin \left( y + \frac{\pi}{6} \right)$ は $-1$ から $1$ のすべての値をとる。

$2 \cos x \sin \left( y + \frac{\pi}{6} \right)$ が最大になるのは、$\cos x$ の符号によって次のようになる。

(i)

$\cos x \geqq 0$ のとき

$\sin \left( y + \frac{\pi}{6} \right) = 1$ のときに最大値 $2 \cos x$ をとる。このとき、関数の値は $2 \sin x + 2 \cos x$ となる。これを合成すると、

$$ 2 \sin x + 2 \cos x = 2\sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) $$

$\cos x \geqq 0$ となる $x$ の範囲は $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi \leqq x < 2\pi$ であり、この範囲における $x + \frac{\pi}{4}$ の範囲は

$$ \frac{\pi}{4} \leqq x + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{3}{4}\pi, \quad \frac{7}{4}\pi \leqq x + \frac{\pi}{4} < \frac{9}{4}\pi $$

となる。この範囲で $\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$ が最大となるのは $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$、すなわち $x = \frac{\pi}{4}$ のときであり、最大値は $2\sqrt{2}$ である。このとき $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \geqq 0$ を満たしており、適する。また $\sin \left( y + \frac{\pi}{6} \right) = 1$ より $y + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$、すなわち $y = \frac{\pi}{3}$ である。

(ii)

$\cos x < 0$ のとき

$\sin \left( y + \frac{\pi}{6} \right) = -1$ のときに最大値 $-2 \cos x$ をとる。このとき、関数の値は $2 \sin x - 2 \cos x$ となる。これを合成すると、

$$ 2 \sin x - 2 \cos x = 2\sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) $$

$\cos x < 0$ となる $x$ の範囲は $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3}{2}\pi$ であり、この範囲における $x - \frac{\pi}{4}$ の範囲は

$$ \frac{\pi}{4} < x - \frac{\pi}{4} < \frac{5}{4}\pi $$

となる。この範囲で $\sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)$ が最大となるのは $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$、すなわち $x = \frac{3}{4}\pi$ のときであり、最大値は $2\sqrt{2}$ である。このとき $\cos \frac{3}{4}\pi = -\frac{1}{\sqrt{2}} < 0$ を満たしており、適する。また $\sin \left( y + \frac{\pi}{6} \right) = -1$ より $y + \frac{\pi}{6} = \frac{3}{2}\pi$、すなわち $y = \frac{4}{3}\pi$ である。

（i）, （ii）より、$f(x, y)$ の最大値は $2\sqrt{2}$ であり、そのときの $(x, y)$ の組は $\left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3} \right)$ および $\left( \frac{3}{4}\pi, \frac{4}{3}\pi \right)$ である。

解法2

ベクトルの内積、あるいはコーシー・シュワルツの不等式を利用する。実数 $a, b, c, d$ について、不等式 $(ac + bd)^2 \leqq (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$ が成り立つ。ここで、$a = 2, b = \sqrt{3} \sin y + \cos y, c = \sin x, d = \cos x$ とすると、

$$ \left( 2 \sin x + (\sqrt{3} \sin y + \cos y) \cos x \right)^2 \leqq \left( 2^2 + (\sqrt{3} \sin y + \cos y)^2 \right)(\sin^2 x + \cos^2 x) $$

右辺を計算すると、$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ であり、また $\sqrt{3} \sin y + \cos y = 2 \sin \left( y + \frac{\pi}{6} \right)$ であるから、

$$ \left( 2^2 + 4 \sin^2 \left( y + \frac{\pi}{6} \right) \right) \cdot 1 = 4 + 4 \sin^2 \left( y + \frac{\pi}{6} \right) $$

となる。したがって、与えられた関数を $f(x, y)$ とすると、

$$ \{ f(x, y) \}^2 \leqq 4 + 4 \sin^2 \left( y + \frac{\pi}{6} \right) $$

$\sin^2 \left( y + \frac{\pi}{6} \right) \leqq 1$ であるため、$\{ f(x, y) \}^2 \leqq 8$ となる。よって $f(x, y) \leqq 2\sqrt{2}$ であり、最大値の候補は $2\sqrt{2}$ となる。

等号が成立する条件を確認する。まず、$\{ f(x, y) \}^2 \leqq 8$ の等号が成り立つのは、$\sin^2 \left( y + \frac{\pi}{6} \right) = 1$ のときである。 $0 \leqq y < 2\pi$ より、

$$ \sin \left( y + \frac{\pi}{6} \right) = 1 \quad \text{すなわち} \quad y = \frac{\pi}{3} $$

または、

$$ \sin \left( y + \frac{\pi}{6} \right) = -1 \quad \text{すなわち} \quad y = \frac{4}{3}\pi $$

である。

次に、コーシー・シュワルツの不等式の等号成立条件は、$(2, \sqrt{3} \sin y + \cos y)$ と $(\sin x, \cos x)$ が平行なとき、すなわち

$$ 2 \cos x = (\sqrt{3} \sin y + \cos y) \sin x $$

であることである。なお、$f(x, y) = 2\sqrt{2} > 0$ であるため、両ベクトルの向きは同じでなければならない。すなわち $\sin x > 0$ かつ $\cos x$ と $\sqrt{3} \sin y + \cos y$ が同符号となる必要がある。

(ア)

$y = \frac{\pi}{3}$ のとき

$\sqrt{3} \sin \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{3} = 2$ であるため、等号成立条件より $2 \cos x = 2 \sin x$ となる。 $\sin x = \cos x$ かつ $\sin x > 0, \cos x > 0$ となる $0 \leqq x < 2\pi$ の範囲の $x$ は、$x = \frac{\pi}{4}$ のみである。

(イ)

$y = \frac{4}{3}\pi$ のとき

$\sqrt{3} \sin \frac{4}{3}\pi + \cos \frac{4}{3}\pi = -2$ であるため、等号成立条件より $2 \cos x = -2 \sin x$ となる。 $-\sin x = \cos x$ かつ $\sin x > 0, \cos x < 0$ となる $0 \leqq x < 2\pi$ の範囲の $x$ は、$x = \frac{3}{4}\pi$ のみである。

以上より、等号を満たす $(x, y)$ が存在するため、最大値は確かに $2\sqrt{2}$ である。

解説

独立した多変数の関数の最大値・最小値を求める問題では、一つの変数を定数とみなして関数の値域を調べる手法が有効である。本問の場合、$x$ を固定して $y$ を動かすと、最大値が $x$ の関数で表されるため、見通しよく解き進めることができる。その際、係数となる $\cos x$ の符号によって場合分けが必要になる点が最大の落とし穴である。絶対値記号を用いて $2\sin x + 2|\cos x|$ とまとめてしまうのもよい。また、解法2のようにコーシー・シュワルツの不等式やベクトルの内積を活用すると、計算量を大幅に減らすことができる。等号成立条件の確認（ベクトルの向きの一致など）を忘れないように注意が必要である。