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東京工業大学 1985年理系第4問解説

方針・初手

曲線の方程式を $y = f(x)$ とおき、点 $(x, y)$ における接線の方程式を立てる。その接線が問題文で指定された点を通るという条件から、$y$ とその導関数 $y'$ に関する関係式（微分方程式）を導き、それを解く。

解法1

曲線 $C$ の方程式を $y = y(x)$ と表す。

$x \neq 0$ である任意の点 $(x, y)$ における接線の方程式は、接線上の点を $(X, Y)$ とすると、次のように表される。

$$ Y - y = y'(X - x) $$

この接線が点 $\left( \frac{6x^3+1}{6x^2}, 2y \right)$ を通るので、$X = \frac{6x^3+1}{6x^2}$、$Y = 2y$ を代入して、

$$ 2y - y = y' \left( \frac{6x^3+1}{6x^2} - x \right) $$

左辺と右辺の括弧内をそれぞれ計算し整理すると、

$$ y = y' \left( \frac{6x^3+1 - 6x^3}{6x^2} \right) $$

$$ y = y' \cdot \frac{1}{6x^2} $$

したがって、次のような微分方程式が得られる。

$$ y' = 6x^2 y $$

恒等的に $y = 0$ であるような関数は点 $(0, 2)$ を通らないため、条件を満たさない。よって $y \neq 0$ として両辺を $y$ で割り、変数分離法を用いて解く。

$$ \frac{y'}{y} = 6x^2 $$

両辺を $x$ について積分すると、

$$ \int \frac{1}{y} dy = \int 6x^2 dx $$

$$ \log |y| = 2x^3 + C \quad (C は積分定数) $$

$$ |y| = e^{2x^3 + C} = e^C e^{2x^3} $$

絶対値を外し、$A = \pm e^C$ とおくと、$A$ は $0$ でない定数であり、一般解は次のように表される。

$$ y = A e^{2x^3} $$

曲線 $C$ は平面上の点 $(0, 2)$ を通るので、$x = 0$ のとき $y = 2$ である。これを代入すると、

$$ 2 = A e^0 $$

$$ A = 2 $$

ゆえに、求める曲線の方程式は

$$ y = 2 e^{2x^3} $$

これは $x=0$ においても連続かつ微分可能であり、すべての実数 $x$ で定義された曲線として題意を満たす。

解説

接線の条件から関数の方程式を決定する典型的な問題である。立式した関係式が変数分離形の微分方程式となるため、積分を用いて一般解を求めることができる。

問題文に $x \neq 0$ とあるのは、与えられた通過点の $x$ 座標 $\frac{6x^3+1}{6x^2}$ の分母が $0$ になることを避けるためである。得られた関数 $y = 2 e^{2x^3}$ は $x = 0$ でも問題なく定義され、点 $(0, 2)$ を通る滑らかな曲線となる。