東京工業大学 1967年 理系 第4問 解説

注意

画像の一部が不鮮明で、特に右辺第2項が「$-\cos 2x$」か「$-\sin 2x$」かの読取りに不確実性があります。本解説では、高校数学における本テーマの典型的な出題意図（$\sin x - \cos x = t$ とおくことで2次関数に帰着させる）を踏まえ、「$-\sin 2x$」として解釈した場合の解答解説を作成しています。

方針・初手

• $\sin x - \cos x = t$ とおき、$f(x)$ を $t$ の関数として表す。
• 三角関数の合成を用いて、$t$ のとりうる値の範囲を求める。
• $\sin 2x$ を $t$ を用いて表し、$t$ の2次関数の最大・最小問題に帰着させる。

解法1

$t = \sin x - \cos x$ とおく。 三角関数の合成を用いると、

$$ t = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) $$

$x$ はすべての実数をとるので、$-1 \leqq \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \leqq 1$ である。 したがって、$t$ のとりうる値の範囲は、

$$ -\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2} \quad \cdots \text{①} $$

また、$t^2$ を計算すると、

$$ \begin{aligned} t^2 &= (\sin x - \cos x)^2 \\ &= \sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x \\ &= 1 - \sin 2x \end{aligned} $$

これより、$\sin 2x = 1 - t^2$ と表せる。

与えられた関数 $f(x)$ を $t$ で表すと、

$$ \begin{aligned} f(x) &= 3(\sin x - \cos x) - \sin 2x \\ &= 3t - (1 - t^2) \\ &= t^2 + 3t - 1 \end{aligned} $$

この $t$ の関数を $g(t)$ とおき、平方完成する。

$$ g(t) = \left(t + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{13}{4} $$

$g(t)$ は下に凸の放物線であり、軸は直線 $t = -\frac{3}{2}$ である。 ここで、$\frac{3}{2} = 1.5$、$\sqrt{2} \approx 1.41$ であるから、$-\frac{3}{2} < -\sqrt{2}$ となる。 したがって、軸は定義域の左側に位置しており、①の範囲（$-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$）において、$g(t)$ は単調に増加する。

最大値と最小値はそれぞれ区間の両端でとる。 $t = \sqrt{2}$ のとき、最大値をとる。

$$ g(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 + 3\sqrt{2} - 1 = 1 + 3\sqrt{2} $$

$t = -\sqrt{2}$ のとき、最小値をとる。

$$ g(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^2 + 3(-\sqrt{2}) - 1 = 1 - 3\sqrt{2} $$

解説

• $\sin x \pm \cos x$ と $\sin 2x$ が混在する関数では、$t = \sin x \pm \cos x$ と置き換えるのが典型的な解法である。
• 置き換えた文字 $t$ には必ず変域が存在するため、三角関数の合成を用いて $t$ のとりうる範囲を正確に求めることが重要である。
• 今回は2次関数の軸が定義域の外にあるため、定義域内では単調増加となる。軸の位置と定義域の端点の大小関係を丁寧に確認するステップを省略してはならない。

答え

最大値: $1 + 3\sqrt{2}$ 最小値: $1 - 3\sqrt{2}$