北海道大学 1963年 理系 第4問 解説

方針・初手

3倍角の公式を用いて不等式に現れる $\sin 3x$ を $\sin x$ に統一する。その後、$\sin x = t$ と置き換え、変域に対する $t$ の関数が常に正となる条件を導く。導関数を用いて関数の増減を調べ、最小値の条件に帰着させるのが基本方針である。

解法1

与えられた不等式は以下の通りである。

$$ a+b+\sin 3x - 4 < (a^2+b^2+3)\sin x $$

3倍角の公式 $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ を用いて不等式を変形する。

$$ a+b+3\sin x - 4\sin^3 x - 4 < (a^2+b^2+3)\sin x $$

右辺の項を左辺に移項して整理する。

$$ 4\sin^3 x + (a^2+b^2)\sin x - a - b + 4 > 0 $$

ここで、$t = \sin x$ とおく。$x$ はどんな実数値もとり得るため、$t$ のとり得る値の範囲は以下のようになる。

$$ -1 \le t \le 1 $$

この範囲のすべての $t$ に対して、次の不等式が成り立つような $a, b$ の条件を求めればよい。

$$ 4t^3 + (a^2+b^2)t - a - b + 4 > 0 $$

左辺を $f(t)$ とおく。

$$ f(t) = 4t^3 + (a^2+b^2)t - a - b + 4 $$

$f(t)$ を $t$ について微分すると次のようになる。

$$ f'(t) = 12t^2 + a^2 + b^2 $$

$a, b, t$ は実数であるから $12t^2 \ge 0$ かつ $a^2+b^2 \ge 0$ であり、常に $f'(t) \ge 0$ が成り立つ。 等号が成立するのは $t=0$ かつ $a=b=0$ のときのみであるため、関数 $f(t)$ は常に単調に増加する。

したがって、$-1 \le t \le 1$ の範囲において $f(t)$ は $t = -1$ のとき最小となる。 すべての $-1 \le t \le 1$ において $f(t) > 0$ が成り立つための条件は、最小値が正であること、すなわち $f(-1) > 0$ である。

$$ f(-1) = 4(-1)^3 + (a^2+b^2)(-1) - a - b + 4 > 0 $$

これを計算して整理する。

$$ -4 - a^2 - b^2 - a - b + 4 > 0 $$

$$ a^2 + a + b^2 + b < 0 $$

平方完成を行って図形的な意味を明確にする。

$$ \left(a + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + \left(b + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} < 0 $$

$$ \left(a + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(b + \frac{1}{2}\right)^2 < \frac{1}{2} $$

これが求める $a, b$ の条件である。 また、これを満たす点 $(a, b)$ の存在範囲は、$ab$ 平面上において中心 $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$、半径 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の円の内部である。 この円の境界は、原点 $(0, 0)$ および点 $(-1, 0), (0, -1), (-1, -1)$ を通る。

解説

三角関数を含む絶対不等式（すべての実数 $x$ で成り立つ不等式）の典型問題である。 変数変換 $t = \sin x$ を行うことで、代数方程式の問題に帰着させている。その際、$t$ の定義域が $-1 \le t \le 1$ に制限されることを忘れないようにしたい。 関数 $f(t)$ を設定したのち、微分して導関数の符号を調べることで、増減表を書かずとも単調増加であることに気づけるかが解答時間を短縮するポイントである。

答え

求める条件は以下の通り。

$$ \left(a + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(b + \frac{1}{2}\right)^2 < \frac{1}{2} $$

また、その条件を満たす点 $(a, b)$ の存在する範囲を図示すると、$ab$ 平面上における中心 $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$、半径 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の円の内部となる。ただし、境界線上の点は含まない。円の境界は原点 $(0, 0)$ と点 $(-1, 0), (0, -1), (-1, -1)$ を通る。