東京工業大学 1965年 理系 第5問 解説

方針・初手

被積分関数に絶対値が含まれているため、まずは絶対値を外すことを考える。絶対値の中身である $\sin(x+h) - \sin x$ を和積の公式を用いて積の形に変形すると、符号の判定と積分の計算が容易になる。その後、得られた定積分の結果と右辺の $2h$ を比較するために、不等式 $\sin \theta < \theta \ (\theta > 0)$ を利用する。

解法1

和積の公式より、絶対値の中身は次のように変形できる。

$$ \sin(x+h) - \sin x = 2 \cos\left(x + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right) $$

条件より $0 < h < \pi$ であるから、$0 < \frac{h}{2} < \frac{\pi}{2}$ であり、$\sin\left(\frac{h}{2}\right) > 0$ である。 したがって、被積分関数の絶対値は次のように外すことができる。

$$ |\sin(x+h) - \sin x| = 2 \sin\left(\frac{h}{2}\right) \left| \cos\left(x + \frac{h}{2}\right) \right| $$

左辺の定積分を $I$ とおく。

$$ I = 2 \sin\left(\frac{h}{2}\right) \int_0^\pi \left| \cos\left(x + \frac{h}{2}\right) \right| dx $$

定積分において、$t = x + \frac{h}{2}$ と置換する。 $dx = dt$ であり、積分区間は $x$ が $0$ から $\pi$ まで変化するとき、$t$ は $\frac{h}{2}$ から $\pi + \frac{h}{2}$ まで変化する。

$$ \int_0^\pi \left| \cos\left(x + \frac{h}{2}\right) \right| dx = \int_{\frac{h}{2}}^{\pi + \frac{h}{2}} |\cos t| dt $$

ここで、$0 < \frac{h}{2} < \frac{\pi}{2}$ であることに注意して、積分区間内で $\cos t$ の符号が変わる $t = \frac{\pi}{2}$ を境に積分を分割する。

$$ \begin{aligned} \int_{\frac{h}{2}}^{\pi + \frac{h}{2}} |\cos t| dt &= \int_{\frac{h}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos t dt + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi + \frac{h}{2}} (-\cos t) dt \\ &= \Big[ \sin t \Big]_{\frac{h}{2}}^{\frac{\pi}{2}} - \Big[ \sin t \Big]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi + \frac{h}{2}} \\ &= \left( 1 - \sin\frac{h}{2} \right) - \left( \sin\left(\pi + \frac{h}{2}\right) - 1 \right) \end{aligned} $$

$\sin\left(\pi + \frac{h}{2}\right) = -\sin\frac{h}{2}$ であるから、

$$ \begin{aligned} \int_{\frac{h}{2}}^{\pi + \frac{h}{2}} |\cos t| dt &= 1 - \sin\frac{h}{2} - \left( -\sin\frac{h}{2} - 1 \right) \\ &= 2 \end{aligned} $$

よって、定積分 $I$ の値は以下のようになる。

$$ I = 2 \sin\left(\frac{h}{2}\right) \times 2 = 4 \sin\left(\frac{h}{2}\right) $$

次に、$f(t) = t - \sin t$ とおく。 $f'(t) = 1 - \cos t$ であり、$t > 0$ において $f'(t) \ge 0$ （等号は離散的な点でのみ成立）であるから、$f(t)$ は単調に増加する。 したがって、$t > 0$ において $f(t) > f(0) = 0$ となり、$\sin t < t$ が成り立つ。 この不等式に $t = \frac{h}{2} > 0$ を代入すると、

$$ \sin\left(\frac{h}{2}\right) < \frac{h}{2} $$

両辺を $4$ 倍して、

$$ 4 \sin\left(\frac{h}{2}\right) < 2h $$

すなわち、$\int_0^\pi |\sin(x+h) - \sin x| dx < 2h$ が成り立つことが示された。

解法2

和積の公式を用いずに、被積分関数の符号変化を直接調べて積分区間を分割する。

$0 \le x \le \pi$、$0 < h < \pi$ の範囲において、$\sin(x+h) - \sin x = 0$ となる $x$ を求める。 $\sin(x+h) = \sin x$ であり、$x < x+h < x+\pi$ より $x+h = \pi - x$、すなわち $x = \frac{\pi - h}{2}$ のときのみ等号が成り立つ。 $0 < h < \pi$ より、$0 < \frac{\pi - h}{2} < \frac{\pi}{2}$ であり、この $x$ は積分区間内にある。

したがって、$x$ の範囲によって次のように符号が変わる。 $0 \le x \le \frac{\pi - h}{2}$ のとき、$\sin(x+h) \ge \sin x$ $\frac{\pi - h}{2} \le x \le \pi$ のとき、$\sin(x+h) \le \sin x$

これを用いて絶対値を外し、定積分 $I = \int_0^\pi |\sin(x+h) - \sin x| dx$ を計算する。

$$ \begin{aligned} I &= \int_0^{\frac{\pi - h}{2}} (\sin(x+h) - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi - h}{2}}^\pi (\sin x - \sin(x+h)) dx \\ &= \Big[ -\cos(x+h) + \cos x \Big]_0^{\frac{\pi - h}{2}} + \Big[ -\cos x + \cos(x+h) \Big]_{\frac{\pi - h}{2}}^\pi \end{aligned} $$

前半の項を計算する。

$$ \begin{aligned} \Big[ -\cos(x+h) + \cos x \Big]_0^{\frac{\pi - h}{2}} &= \left( -\cos\frac{\pi+h}{2} + \cos\frac{\pi-h}{2} \right) - ( -\cos h + 1 ) \\ &= \left( \sin\frac{h}{2} + \sin\frac{h}{2} \right) + \cos h - 1 \\ &= 2\sin\frac{h}{2} + \cos h - 1 \end{aligned} $$

後半の項を計算する。

$$ \begin{aligned} \Big[ -\cos x + \cos(x+h) \Big]_{\frac{\pi - h}{2}}^\pi &= \left( -\cos\pi + \cos(\pi+h) \right) - \left( -\cos\frac{\pi-h}{2} + \cos\frac{\pi+h}{2} \right) \\ &= \left( 1 - \cos h \right) - \left( -\sin\frac{h}{2} - \sin\frac{h}{2} \right) \\ &= 1 - \cos h + 2\sin\frac{h}{2} \end{aligned} $$

両者を足し合わせる。

$$ I = \left( 2\sin\frac{h}{2} + \cos h - 1 \right) + \left( 1 - \cos h + 2\sin\frac{h}{2} \right) = 4\sin\frac{h}{2} $$

ここから先は解法1と同様に、不等式 $\sin\left(\frac{h}{2}\right) < \frac{h}{2}$ を用いて $4\sin\left(\frac{h}{2}\right) < 2h$ を導くことができる。

解説

絶対値を含む関数の定積分は、「絶対値の中身の符号が変わる境界を調べ、積分区間を分割する」のが定石である。解法2はその基本に忠実なアプローチだが、三角関数の差の形では符号変化の境界を見つけることや、その後の代入計算がやや煩雑になる。

一方で、解法1のように「和積の公式」を用いると、被積分関数が積の形になり、しかも $x$ を含む部分と $h$ のみを含む部分に分離される。これにより、絶対値を外す処理や定積分が劇的に簡単になり、計算ミスも減らすことができる。三角関数の積分において、和積・積和の公式は次数下げや因数分解の手法として非常に強力である。

また、証明の終盤で用いた $\sin \theta < \theta \ (\theta > 0)$ は、微積分の不等式証明や極限の議論で頻繁に利用される基本不等式であるため、微分を用いて即座に示せるようにしておきたい。

答え

$$ \int_0^\pi |\sin(x+h)-\sin x|\,dx < 2h $$