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東京工業大学 1977年理系第5問解説

方針・初手

(1) 定積分における変数変換（置換積分）と、関数の周期性を利用して積分区間をずらす手法を用いる。 (2) (1)の結果を利用し、加法定理を用いて被積分関数を $x$ に依存する部分と積分変数 $s$ に依存する部分に分離する。積分結果が定数になることを利用して、未知の関数を決定するための定数項を設定する。

解法1

(1)

左辺の積分において、$t - x = s$ とおく。両辺を $t$ で微分すると $dt = ds$ となる。積分区間は、$t$ が $0$ から $2\pi$ まで変化するとき、$s$ は $-x$ から $2\pi - x$ まで変化する。

したがって、左辺は次のように変形できる。

$$ \int_0^{2\pi} f(t-x) \sin t \, dt = \int_{-x}^{2\pi-x} f(s) \sin(s+x) \, ds $$

ここで、被積分関数 $g(s) = f(s) \sin(s+x)$ を考える。 $f(s)$ は周期 $2\pi$ の関数であり、$\sin(s+x)$ も $s$ について周期 $2\pi$ の関数である。よって、任意の $s$ について以下が成り立つ。

$$ g(s+2\pi) = f(s+2\pi) \sin(s+2\pi+x) = f(s) \sin(s+x) = g(s) $$

ゆえに、$g(s)$ も周期 $2\pi$ の関数である。周期が $2\pi$ の関数において、任意の区間幅 $2\pi$ での定積分は等しいから、次が成り立つ。

$$ \int_{-x}^{2\pi-x} f(s) \sin(s+x) \, ds = \int_0^{2\pi} f(s) \sin(s+x) \, ds $$

以上より、与式は証明された。

$$ \int_0^{2\pi} f(t-x) \sin t \, dt = \int_0^{2\pi} f(s) \sin(x+s) \, ds $$

(2)

与えられた条件と(1)の結果より、次が成り立つ。

$$ cf(x) = \int_0^{2\pi} f(s) \sin(x+s) \, ds $$

右辺の被積分関数にある $\sin(x+s)$ に加法定理を適用すると、

$$ \sin(x+s) = \sin x \cos s + \cos x \sin s $$

これを代入し、$x$ は積分変数 $s$ に無関係であることに注意して積分を分けると、以下のようになる。

$$ cf(x) = \int_0^{2\pi} f(s) (\sin x \cos s + \cos x \sin s) \, ds $$

$$ cf(x) = \sin x \int_0^{2\pi} f(s) \cos s \, ds + \cos x \int_0^{2\pi} f(s) \sin s \, ds $$

ここで、右辺の定積分は定数となるため、$A = \int_0^{2\pi} f(s) \cos s \, ds$, $B = \int_0^{2\pi} f(s) \sin s \, ds$ とおく。すると、式は次のように表せる。

$$ cf(x) = A \sin x + B \cos x $$

$c$ は正の定数より $c \neq 0$ であるから、両辺を $c$ で割る。

$$ f(x) = \frac{A}{c} \sin x + \frac{B}{c} \cos x $$

条件 $f(0) = 1$ より、

$$ f(0) = \frac{A}{c} \sin 0 + \frac{B}{c} \cos 0 = \frac{B}{c} = 1 $$

よって、$B = c$ である。これを用いて $f(x)$ は次のように書ける。

$$ f(x) = \frac{A}{c} \sin x + \cos x $$

これを $A, B$ の定義式にそれぞれ代入し、定積分を計算する。まず $A$ について、

$$ A = \int_0^{2\pi} \left( \frac{A}{c} \sin s + \cos s \right) \cos s \, ds $$

$$ A = \frac{A}{c} \int_0^{2\pi} \sin s \cos s \, ds + \int_0^{2\pi} \cos^2 s \, ds $$

各項の定積分は以下の通り計算できる。

$$ \int_0^{2\pi} \sin s \cos s \, ds = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \sin 2s \, ds = \left[ -\frac{1}{4} \cos 2s \right]_0^{2\pi} = 0 $$

$$ \int_0^{2\pi} \cos^2 s \, ds = \int_0^{2\pi} \frac{1 + \cos 2s}{2} \, ds = \left[ \frac{s}{2} + \frac{1}{4} \sin 2s \right]_0^{2\pi} = \pi $$

これらを代入すると、

$$ A = \frac{A}{c} \cdot 0 + \pi = \pi $$

次に $B$ についても同様に計算する。$B=c$ であったから、

$$ c = \int_0^{2\pi} \left( \frac{A}{c} \sin s + \cos s \right) \sin s \, ds $$

$$ c = \frac{A}{c} \int_0^{2\pi} \sin^2 s \, ds + \int_0^{2\pi} \sin s \cos s \, ds $$

定積分を計算する。

$$ \int_0^{2\pi} \sin^2 s \, ds = \int_0^{2\pi} \frac{1 - \cos 2s}{2} \, ds = \left[ \frac{s}{2} - \frac{1}{4} \sin 2s \right]_0^{2\pi} = \pi $$

さきほど求めた $\int_0^{2\pi} \sin s \cos s \, ds = 0$ と $A = \pi$ を代入すると、

$$ c = \frac{\pi}{c} \cdot \pi + 0 = \frac{\pi^2}{c} $$

両辺に $c$ を掛けると、

$$ c^2 = \pi^2 $$

$c$ は正の定数であるから、$c = \pi$ となる。最後に $f(x)$ の式に $A = \pi$, $c = \pi$ を代入して、

$$ f(x) = \frac{\pi}{\pi} \sin x + \cos x = \sin x + \cos x $$

解説

(1)は置換積分と周期関数の性質を用いる典型的な証明問題である。関数 $h(x)$ が周期 $T$ を持つとき、任意の定数 $a$ について $\int_a^{a+T} h(x) dx = \int_0^T h(x) dx$ となる性質は、積分区間を操作する際に頻出する。

(2)は積分方程式の基本問題である。被積分関数の中に変数 $x$ と積分変数 $s$ が混在している場合は、加法定理などを用いて変数を分離し、$x$ を積分の外に出すのが定石である。定積分は定数になるため、それを文字で置くことで関数 $f(x)$ の形を絞り込み、与えられた条件から未知数を決定していく。