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東京工業大学 1978年理系第6問解説

方針・初手

被積分関数に含まれる絶対値 $|x - a|$ を外すことから始める。積分変数は $x$ であり、$x$ が区間 $[-1, 1]$ を動くのに対し、$a$ は定数として扱われる。$|a| \leqq 1$ という条件から $a$ も区間 $[-1, 1]$ 内にあるため、積分区間を $x \leqq a$ と $x \geqq a$ に分割して絶対値を外す。その後、定積分を計算して $a$ の関数 $I(a)$ を明示的に求め、微分を用いて増減を調べることで最大値を特定する。

解法1

$|a| \leqq 1$ より、積分区間 $[-1, 1]$ を $[-1, a]$ と $[a, 1]$ に分割する。

$$ |x - a| = \begin{cases} -(x - a) & (-1 \leqq x \leqq a) \\ x - a & (a \leqq x \leqq 1) \end{cases} $$

これを用いて $I(a)$ を展開する。

$$ \begin{aligned} I(a) &= \int_{-1}^{1} |x - a|e^x dx \\ &= \int_{-1}^{a} -(x - a)e^x dx + \int_{a}^{1} (x - a)e^x dx \end{aligned} $$

ここで、不定積分 $\int (x - a)e^x dx$ を部分積分法により求める。

$$ \begin{aligned} \int (x - a)e^x dx &= (x - a)e^x - \int 1 \cdot e^x dx \\ &= (x - a)e^x - e^x + C \\ &= (x - a - 1)e^x + C \quad (C \text{ は積分定数}) \end{aligned} $$

これを利用して各定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^{a} -(x - a)e^x dx &= - \left[ (x - a - 1)e^x \right]_{-1}^{a} \\ &= - \left\{ (a - a - 1)e^a - (-1 - a - 1)e^{-1} \right\} \\ &= - \left\{ -e^a + (a + 2)e^{-1} \right\} \\ &= e^a - (a + 2)e^{-1} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \int_{a}^{1} (x - a)e^x dx &= \left[ (x - a - 1)e^x \right]_{a}^{1} \\ &= (1 - a - 1)e^1 - (a - a - 1)e^a \\ &= -ae + e^a \end{aligned} $$

したがって、$I(a)$ は次のように表される。

$$ \begin{aligned} I(a) &= \left\{ e^a - (a + 2)e^{-1} \right\} + ( -ae + e^a ) \\ &= 2e^a - \left( e + \frac{1}{e} \right)a - \frac{2}{e} \end{aligned} $$

次に、$I(a)$ の増減を調べるために $a$ で微分する。

$$ I'(a) = 2e^a - \left( e + \frac{1}{e} \right) $$

$I'(a) = 0$ となる $a$ を求める。

$$ 2e^a = e + \frac{1}{e} $$

$$ e^a = \frac{e^2 + 1}{2e} $$

ここで、$e > 1$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より

$$ e + \frac{1}{e} > 2 \sqrt{e \cdot \frac{1}{e}} = 2 $$

等号は $e = 1$ のとき成立するが、不適である。したがって $2e^a > 2$ より $e^a > 1$ となり、$a > 0$ であることがわかる。また、

$$ e - \frac{e^2 + 1}{2e} = \frac{2e^2 - e^2 - 1}{2e} = \frac{e^2 - 1}{2e} > 0 $$

であるから、$\frac{e^2 + 1}{2e} < e$ より $e^a < e$ となり、$a < 1$ である。以上より、$I'(a) = 0$ を満たす $a$ は $0 < a < 1$ の範囲にただ一つ存在する。これを $\alpha$ とおく。

関数 $I(a)$ の増減は以下のようになる。 $a < \alpha$ のとき、$e^a < e^\alpha$ より $I'(a) < 0$ となり単調減少する。 $a > \alpha$ のとき、$e^a > e^\alpha$ より $I'(a) > 0$ となり単調増加する。

よって、$I(a)$ は $a = \alpha$ で極小かつ最小となる。定義域が $-1 \leqq a \leqq 1$ であるため、最大値をとる候補は区間の両端である $a = -1$ または $a = 1$ に絞られる。それぞれの値を計算して比較する。

$$ \begin{aligned} I(-1) &= 2e^{-1} - \left( e + \frac{1}{e} \right)(-1) - \frac{2}{e} \\ &= \frac{2}{e} + e + \frac{1}{e} - \frac{2}{e} \\ &= e + \frac{1}{e} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} I(1) &= 2e^1 - \left( e + \frac{1}{e} \right)(1) - \frac{2}{e} \\ &= 2e - e - \frac{1}{e} - \frac{2}{e} \\ &= e - \frac{3}{e} \end{aligned} $$

これらの差を計算すると、

$$ I(-1) - I(1) = \left( e + \frac{1}{e} \right) - \left( e - \frac{3}{e} \right) = \frac{4}{e} > 0 $$

したがって、$I(-1) > I(1)$ となり、$a = -1$ のときに最大値をとることがわかる。

解説

絶対値を含む定積分関数の最大・最小を求める典型的な問題である。まず積分変数が $x$ であることを意識し、$x$ の値によって絶対値の符号がどう変わるかを見極めることが重要となる。関数 $I(a)$ を求めた後、導関数 $I'(a)$ の符号を調べることになるが、$I'(a) = 0$ となる具体的な値（対数）を求める必要はなく、その値が定義域 $[-1, 1]$ のどこに位置するかの評価ができれば十分である。本解法では極小値をとる $a$ の位置が $0 < a < 1$ であることを示し、区間の端点のみを比較することで最大値を決定している。