東京工業大学 1979年 理系 第1問 解説

方針・初手

直線 $l$ と直線 $m$ は、それぞれ方向ベクトルと通る点が明確であるため、媒介変数を用いて点 $P_n$、$Q_n$ の座標を設定する。 その上で、「線分 $P_n Q_n$ と $m$ が直交」、「線分 $Q_n P_{n+1}$ と $l$ が直交」という2つの条件を内積が $0$ になるという方程式に翻訳し、媒介変数についての漸化式を導いて極限を求める。

解法1

直線 $l$ の方向ベクトルを $\vec{u}$、直線 $m$ の方向ベクトルを $\vec{v}$ とすると、

$$ \vec{u} = (1, 1, 1), \quad \vec{v} = (2, 3, -1) $$

である。

点 $P_n$ は直線 $l$ 上にあるので、実数 $p_n$ を用いて

$$ P_n(p_n, p_n, p_n) $$

と表せる。 また、点 $Q_n$ は直線 $m$ 上にあるので、実数 $q_n$ を用いて

$$ Q_n(2q_n, 3q_n+1, -q_n) $$

と表せる。

ベクトル $\vec{P_n Q_n}$ の成分は

$$ \vec{P_n Q_n} = (2q_n - p_n, 3q_n + 1 - p_n, -q_n - p_n) $$

となる。 線分 $P_n Q_n$ と $m$ は直交するから、$\vec{P_n Q_n} \cdot \vec{v} = 0$ が成り立つ。

$$ 2(2q_n - p_n) + 3(3q_n + 1 - p_n) - (-q_n - p_n) = 0 $$

これを整理して

$$ 14q_n - 4p_n + 3 = 0 \quad \cdots \text{①} $$

を得る。

次に、ベクトル $\vec{Q_n P_{n+1}}$ の成分は

$$ \vec{Q_n P_{n+1}} = (p_{n+1} - 2q_n, p_{n+1} - 3q_n - 1, p_{n+1} + q_n) $$

となる。 線分 $Q_n P_{n+1}$ と $l$ は直交するから、$\vec{Q_n P_{n+1}} \cdot \vec{u} = 0$ が成り立つ。

$$ (p_{n+1} - 2q_n) + (p_{n+1} - 3q_n - 1) + (p_{n+1} + q_n) = 0 $$

これを整理して

$$ 3p_{n+1} - 4q_n - 1 = 0 \quad \cdots \text{②} $$

を得る。

①、② から $q_n$ を消去して $p_n$ についての漸化式を作る。 ① より $14q_n = 4p_n - 3$ であるから、両辺を $2$ 倍して $7$ で割ると

$$ 4q_n = \frac{8p_n - 6}{7} $$

これを ② の $4q_n = 3p_{n+1} - 1$ に代入して

$$ 3p_{n+1} - 1 = \frac{8p_n - 6}{7} $$

$$ 21p_{n+1} - 7 = 8p_n - 6 $$

$$ 21p_{n+1} = 8p_n + 1 $$

$$ p_{n+1} = \frac{8}{21}p_n + \frac{1}{21} $$

この漸化式を変形すると

$$ p_{n+1} - \frac{1}{13} = \frac{8}{21} \left( p_n - \frac{1}{13} \right) $$

となる。 ゆえに、数列 $\left\{ p_n - \frac{1}{13} \right\}$ は公比 $\frac{8}{21}$ の等比数列である。 $-1 < \frac{8}{21} < 1$ であるため、$n \to \infty$ のとき公比の累乗は $0$ に収束し、

$$ \lim_{n \to \infty} \left( p_n - \frac{1}{13} \right) = 0 $$

すなわち

$$ \lim_{n \to \infty} p_n = \frac{1}{13} $$

が成り立つ。 したがって、点 $P_n$ は点 $\left( \frac{1}{13}, \frac{1}{13}, \frac{1}{13} \right)$ に近づく。

また、② より $q_n = \frac{3p_{n+1} - 1}{4}$ であるから、$n \to \infty$ のときの $q_n$ の極限は

$$ \lim_{n \to \infty} q_n = \frac{3 \cdot \frac{1}{13} - 1}{4} = \frac{-\frac{10}{13}}{4} = -\frac{5}{26} $$

となる。 これを $Q_n(2q_n, 3q_n+1, -q_n)$ に代入して極限の座標を求めると、

$$ x = 2 \left( -\frac{5}{26} \right) = -\frac{5}{13} $$

$$ y = 3 \left( -\frac{5}{26} \right) + 1 = -\frac{15}{26} + \frac{26}{26} = \frac{11}{26} $$

$$ z = -\left( -\frac{5}{26} \right) = \frac{5}{26} $$

したがって、点 $Q_n$ は点 $\left( -\frac{5}{13}, \frac{11}{26}, \frac{5}{26} \right)$ に近づく。

解説

空間内の2直線に対する点列の極限を求める問題である。 直線の媒介変数表示とベクトルの内積を用いて、2つの数列に関する連立漸化式を立てるという自然な流れで解くことができる。 導かれた漸化式から等比数列を作り、公比の絶対値が $1$ より小さいことを確認することで、極限の存在と値が確定する。

なお、図形的な意味を考えると、数列の極限となる点 $P = \lim_{n \to \infty} P_n$ と $Q = \lim_{n \to \infty} Q_n$ を結ぶ線分 $PQ$ は、直線 $l$ にも直線 $m$ にも直交する共通垂線となっていることがわかる。

答え

点 $P_n$ は点 $\left( \frac{1}{13}, \frac{1}{13}, \frac{1}{13} \right)$ に近づき、点 $Q_n$ は点 $\left( -\frac{5}{13}, \frac{11}{26}, \frac{5}{26} \right)$ に近づく。