東北大学 2022年 理系 第5問 解説

方針・初手

各点は直線 $l,\ l'$ への垂線の足として定まっているので、まず「垂直条件」を内積で式にするのが基本である。

点 $A_n=s_n\vec a$ から直線 $l'$ への垂線の足を $B_n=t_n\vec b+\vec c$ とすると、$\overrightarrow{A_nB_n}$ は $\vec b$ に垂直である。同様に、点 $B_n$ から直線 $l$ への垂線の足を $A_{n+1}=s_{n+1}\vec a$ とすると、$\overrightarrow{B_nA_{n+1}}$ は $\vec a$ に垂直である。

したがって、$t_n$ を $s_n$ で表し、さらに $s_{n+1}$ を $t_n$ で表せば、$s_{n+1}$ と $s_n$ の漸化式が得られる。

解法1

$\vec a=(1,2,1),\ \vec b=(1,1,-1),\ \vec c=(0,0,1)$ より、

$$ \vec a\cdot \vec a=1^2+2^2+1^2=6,\qquad \vec b\cdot \vec b=1^2+1^2+(-1)^2=3 $$

$$ \vec a\cdot \vec b=1+2-1=2,\qquad \vec c\cdot \vec a=1,\qquad \vec c\cdot \vec b=-1 $$

である。

(1)

$s_n$ を用いて $s_{n+1}$ を表す。

まず、$B_n=t_n\vec b+\vec c$ は $A_n=s_n\vec a$ から直線 $l'$ への垂線の足であるから、

$$ (B_n-A_n)\cdot \vec b=0 $$

すなわち

$$ (t_n\vec b+\vec c-s_n\vec a)\cdot \vec b=0 $$

である。これを展開すると、

$$ 3t_n-1-2s_n=0 $$

したがって、

$$ t_n=\frac{2s_n+1}{3} $$

を得る。

次に、$A_{n+1}=s_{n+1}\vec a$ は $B_n=t_n\vec b+\vec c$ から直線 $l$ への垂線の足であるから、

$$ (A_{n+1}-B_n)\cdot \vec a=0 $$

すなわち

$$ (s_{n+1}\vec a-t_n\vec b-\vec c)\cdot \vec a=0 $$

である。これを展開すると、

$$ 6s_{n+1}-2t_n-1=0 $$

ゆえに

$$ s_{n+1}=\frac{2t_n+1}{6} $$

となる。ここに $t_n=\dfrac{2s_n+1}{3}$ を代入すると、

$$ s_{n+1} =\frac{1}{6}\left(2\cdot \frac{2s_n+1}{3}+1\right) =\frac{4s_n+5}{18} $$

したがって、

$$ s_{n+1}=\frac{4s_n+5}{18} $$

である。

（2） 極限値 $S=\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n,\ T=\displaystyle\lim_{n\to\infty}t_n$ を求める。

$A_1$ は原点であるから、

$$ A_1=(0,0,0)=0\vec a $$

より

$$ s_1=0 $$

である。

漸化式

$$ s_{n+1}=\frac{4s_n+5}{18} $$

の極限を $S$ とすると、

$$ S=\frac{4S+5}{18} $$

となるから、

$$ 18S=4S+5 $$

$$ 14S=5 $$

$$ S=\frac{5}{14} $$

を得る。

また、

$$ t_n=\frac{2s_n+1}{3} $$

であるから、$n\to\infty$ として

$$ T=\frac{2S+1}{3} =\frac{2\cdot \frac{5}{14}+1}{3} =\frac{\frac{10}{14}+\frac{14}{14}}{3} =\frac{24}{14}\cdot \frac{1}{3} =\frac{4}{7} $$

したがって、

$$ S=\frac{5}{14},\qquad T=\frac{4}{7} $$

である。

(3)

$A=A(S\vec a),\ B=B(T\vec b+\vec c)$ とおくと、直線 $AB$ は $l,\ l'$ の両方と交わることを示す。

まず、

$$ A=S\vec a=\frac{5}{14}(1,2,1)=\left(\frac{5}{14},\frac{5}{7},\frac{5}{14}\right) $$

$$ B=T\vec b+\vec c =\frac{4}{7}(1,1,-1)+(0,0,1) =\left(\frac{4}{7},\frac{4}{7},\frac{3}{7}\right) $$

である。よって、

$$ \overrightarrow{AB}=B-A =\left(\frac{4}{7}-\frac{5}{14},\ \frac{4}{7}-\frac{5}{7},\ \frac{3}{7}-\frac{5}{14}\right) =\left(\frac{3}{14},-\frac{1}{7},\frac{1}{14}\right) $$

となる。

これと $\vec a,\ \vec b$ との内積を計算すると、

$$ \overrightarrow{AB}\cdot \vec a =\left(\frac{3}{14},-\frac{1}{7},\frac{1}{14}\right)\cdot (1,2,1) =\frac{3}{14}-\frac{2}{7}+\frac{1}{14} =0 $$

$$ \overrightarrow{AB}\cdot \vec b =\left(\frac{3}{14},-\frac{1}{7},\frac{1}{14}\right)\cdot (1,1,-1) =\frac{3}{14}-\frac{1}{7}-\frac{1}{14} =0 $$

となる。

直線 $l$ の方向ベクトルは $\vec a$、直線 $l'$ の方向ベクトルは $\vec b$ であるから、$\overrightarrow{AB}$ は両方に垂直である。したがって、直線 $AB$ は $l,\ l'$ の両方と交わる。

解説

この問題の要点は、垂線の足という幾何条件を内積で表すことである。

点列そのものを座標で逐一追うよりも、

$$ (B_n-A_n)\cdot \vec b=0,\qquad (A_{n+1}-B_n)\cdot \vec a=0 $$

の2本を立てれば、$t_n$ と $s_{n+1}$ が機械的に求まる。すると $s_n$ は一次の漸化式に従い、極限は不動点として求まる。

最後は、極限点 $A,\ B$ を具体的に書き下して $\overrightarrow{AB}$ が $\vec a,\ \vec b$ の両方と直交することを示せばよい。すなわち、この $A,\ B$ は2直線 $l,\ l'$ の共通垂線の両端になっている。

答え

$$ s_{n+1}=\frac{4s_n+5}{18} $$

$$ S=\lim_{n\to\infty}s_n=\frac{5}{14},\qquad T=\lim_{n\to\infty}t_n=\frac{4}{7} $$

また、

$$ A=\left(\frac{5}{14},\frac{5}{7},\frac{5}{14}\right),\qquad B=\left(\frac{4}{7},\frac{4}{7},\frac{3}{7}\right) $$

であり、

$$ \overrightarrow{AB}\cdot \vec a=0,\qquad \overrightarrow{AB}\cdot \vec b=0 $$

となるので、直線 $AB$ は $l,\ l'$ の両方に垂直である。