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東京工業大学 1983年理系第4問解説

方針・初手

与式 $F = \sin 3A + \sin 3B + \sin 3C$ は、$A, B, C$ に関する対称式である。三角形の内角の条件から $A+B+C=\pi$ であり、さらに「二等辺三角形」という条件から、3つの内角のうち少なくとも2つは等しい。式が対称であるため、どの2つの角が等しいとしても $F$ のとりうる値の集合は変わらない。したがって、$B=C$ と固定して1変数関数に帰着させるのが見通しの良い解法である。

解法1

$F = \sin 3A + \sin 3B + \sin 3C$ は $A, B, C$ についての対称式であるため、$B=C$ としても一般性を失わない。三角形の内角の和は $\pi$ であるから $A+B+C=\pi$ であり、$B=C$ のとき $A = \pi - 2B$ となる。 $A, B, C$ は内角であるから $A > 0, B > 0$ であり、$A = \pi - 2B > 0$ より $0 < B < \frac{\pi}{2}$ である。

$F$ を $B$ を用いて表すと、

$$ \begin{aligned} F &= \sin 3(\pi - 2B) + \sin 3B + \sin 3B \\ &= \sin(3\pi - 6B) + 2\sin 3B \\ &= \sin(\pi - 6B) + 2\sin 3B \\ &= \sin 6B + 2\sin 3B \end{aligned} $$

となる。ここで、$f(B) = \sin 6B + 2\sin 3B$ とおき、$0 < B < \frac{\pi}{2}$ における増減を調べる。$B$ で微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(B) &= 6\cos 6B + 6\cos 3B \\ &= 6(2\cos^2 3B - 1) + 6\cos 3B \\ &= 6(2\cos^2 3B + \cos 3B - 1) \\ &= 6(2\cos 3B - 1)(\cos 3B + 1) \end{aligned} $$

$0 < B < \frac{\pi}{2}$ より $0 < 3B < \frac{3\pi}{2}$ である。この範囲において $\cos 3B + 1 \ge 0$ （等号成立は $3B = \pi$ のとき）であるため、$f'(B)$ の符号は $2\cos 3B - 1$ の符号と一致する。 $f'(B) = 0$ となるのは $\cos 3B = \frac{1}{2}$ または $\cos 3B = -1$ のときであり、該当する $B$ の値は、

$$ 3B = \frac{\pi}{3}, \pi \iff B = \frac{\pi}{9}, \frac{\pi}{3} $$

これをもとに $f(B)$ の増減表を作ると、以下のようになる。

$B$	$(0)$	$\cdots$	$\frac{\pi}{9}$	$\cdots$	$\frac{\pi}{3}$	$\cdots$	$\left(\frac{\pi}{2}\right)$
$f'(B)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(B)$	$(0)$	$\nearrow$	$\frac{3\sqrt{3}}{2}$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$(-2)$

ここで、極値および区間の両端における極限は以下のように計算した。

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{9}\right) &= \sin \frac{2\pi}{3} + 2\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \\ f\left(\frac{\pi}{3}\right) &= \sin 2\pi + 2\sin \pi = 0 \\ \lim_{B \to +0} f(B) &= \sin 0 + 2\sin 0 = 0 \\ \lim_{B \to \frac{\pi}{2}-0} f(B) &= \sin 3\pi + 2\sin \frac{3\pi}{2} = 0 + 2 \cdot (-1) = -2 \end{aligned} $$

以上から、関数 $f(B)$ は $B=\frac{\pi}{9}$ のときに最大値 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ をとる。最小値は存在せず、下限は $-2$ に近づく。

解法2

解法1と同様に $B=C$ とおき、$F = \sin 6B + 2\sin 3B$ （$0 < B < \frac{\pi}{2}$）を得る。 2倍角の公式を用いて変形する。

$$ \begin{aligned} F &= 2\sin 3B \cos 3B + 2\sin 3B \\ &= 2\sin 3B (\cos 3B + 1) \end{aligned} $$

$t = \cos 3B$ とおくと、$0 < 3B < \frac{3\pi}{2}$ より $t$ のとりうる値の範囲は $-1 \le t < 1$ である。 $\cos 3B + 1 = t + 1 \ge 0$ であるため、$F$ の符号は $\sin 3B$ の符号と一致する。

(i) $0 < 3B \le \pi$ のとき

$\sin 3B \ge 0$ より $F \ge 0$ である。このとき、$\sin 3B = \sqrt{1-\cos^2 3B} = \sqrt{1-t^2}$ であり、$t$ は $-1 \le t < 1$ の範囲を動く。

$$ F^2 = 4\sin^2 3B (\cos 3B + 1)^2 = 4(1-t^2)(t+1)^2 = 4(1-t)(t+1)^3 $$

$g(t) = 4(1-t)(t+1)^3$ とおき、$-1 \le t < 1$ における増減を調べる。

$$ \begin{aligned} g'(t) &= -4(t+1)^3 + 4(1-t) \cdot 3(t+1)^2 \\ &= 4(t+1)^2 \{ -(t+1) + 3(1-t) \} \\ &= 8(t+1)^2 (1 - 2t) \end{aligned} $$

$g'(t) = 0$ となるのは $t = -1, \frac{1}{2}$ である。 $-1 \le t < 1$ において、$g(t)$ は $t = \frac{1}{2}$ で最大値 $g\left(\frac{1}{2}\right) = 4 \left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2} + 1\right)^3 = \frac{27}{4}$ をとる。 $F \ge 0$ より、$F$ の最大値は $\sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ となる。また、端点において $g(1)=0, g(-1)=0$ であるから、この区間での $F$ の値の範囲は $0 \le F \le \frac{3\sqrt{3}}{2}$ である。

(ii) $\pi < 3B < \frac{3\pi}{2}$ のとき

$\sin 3B < 0$ より $F < 0$ である。このとき、$\sin 3B = -\sqrt{1-t^2}$ であり、$t$ は $-1 < t < 0$ の範囲を動く。

$$ F = - \sqrt{g(t)} $$

この区間において $g'(t) > 0$ であるため、$g(t)$ は単調増加する。したがって、$F = - \sqrt{g(t)}$ は単調減少する。極限を調べると、 $t \to 0$ （$3B \to \frac{3\pi}{2}$）のとき、$g(t) \to g(0) = 4$ より $F \to -2$。 $t \to -1$ （$3B \to \pi$）のとき、$g(t) \to 0$ より $F \to 0$。よって、この区間での $F$ の値の範囲は $-2 < F < 0$ である。

(i), (ii) を合わせると、$F$ のとる値の範囲は $-2 < F \le \frac{3\sqrt{3}}{2}$ となり、これが同時に (1) と (2) を満たす。

解説

変数が3つあるが、対称式かつ「二等辺三角形」という制約があるため、「$B=C$」などと2つの角を等しいとして固定し、1変数関数に帰着させるのが定石である。 1変数化さえできれば、あとは数学II・IIIの微分の計算問題となる。極限をとる際、三角形が潰れる限界（$B \to \frac{\pi}{2}$）において $F$ が $-2$ に近づくため、最小値は存在せず「開区間」になることに注意が必要である。