東京工業大学 1974年 理系 第4問 解説

方針・初手

点 $(2a, 0)$ を通る楕円の接線の方程式と、その接点の座標を求めます。 与えられた図形は $x$ 軸に関して対称な形をしているため、領域全体を $y$ 軸のまわりに回転させるのではなく、$y \geqq 0$ の上半分の領域を $y$ 軸のまわりに回転させた立体の体積を求め、それを2倍するという方針をとります。 体積の計算では、回転軸に垂直な平面（$y = t$）で切り、外側の円から内側の円をくり抜く「円盤法（$y$ 積分）」を用いると、一つの定積分で計算できます。

解法1

楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の接点を $(x_1, y_1)$ とおく。

この接点における接線の方程式は

$$ \frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1 $$

と表される。この直線が点 $(2a, 0)$ を通るから

$$ \frac{2a x_1}{a^2} = 1 \iff x_1 = \frac{a}{2} $$

接点は楕円上の点であるから、これを楕円の方程式に代入して

$$ \frac{(a/2)^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1 \iff \frac{1}{4} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1 \iff y_1^2 = \frac{3}{4}b^2 $$

$b > 0$ であるから、$y_1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}b$ となる。 したがって、接点は $\left( \frac{a}{2}, \pm \frac{\sqrt{3}}{2}b \right)$ の2点である。

だ円およびこれらの接線は $x$ 軸に関して対称であるから、囲まれた領域も $x$ 軸に関して対称である。 求める立体は、第1象限における領域を $y$ 軸のまわりに1回転してできる立体と、第4象限における領域を $y$ 軸のまわりに1回転してできる立体を合わせたものであり、両者の体積は等しい。 したがって、第1象限における領域を $y$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を $V_1$ とすると、求める体積 $V$ は $V = 2V_1$ で求められる。

第1象限における接点は $\left( \frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}b \right)$ であり、この点における接線の方程式は

$$ \frac{a/2}{a^2}x + \frac{\sqrt{3}b/2}{b^2}y = 1 \iff \frac{x}{2a} + \frac{\sqrt{3}y}{2b} = 1 $$

これを $x$ について解くと

$$ x = 2a - \frac{\sqrt{3}a}{b}y $$

また、第1象限における楕円の方程式を $x$ について解くと

$$ x = a\sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}} $$

となる。

領域の $y$ 座標の範囲は $0 \leqq y \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}b$ であり、この区間において接線の $x$ 座標は楕円の $x$ 座標以上である。 よって、上半分の体積 $V_1$ は

$$ V_1 = \pi \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}b} \left\{ \left( 2a - \frac{\sqrt{3}a}{b}y \right)^2 - \left( a\sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}} \right)^2 \right\} dy $$

と表される。被積分関数を展開して整理すると

$$ \begin{aligned} \left( 2a - \frac{\sqrt{3}a}{b}y \right)^2 - a^2 \left( 1 - \frac{y^2}{b^2} \right) &= a^2 \left( 4 - \frac{4\sqrt{3}}{b}y + \frac{3}{b^2}y^2 \right) - a^2 \left( 1 - \frac{y^2}{b^2} \right) \\ &= a^2 \left( 3 - \frac{4\sqrt{3}}{b}y + \frac{4}{b^2}y^2 \right) \end{aligned} $$

となるため、これを積分して $V_1$ を求める。

$$ \begin{aligned} V_1 &= \pi a^2 \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}b} \left( 3 - \frac{4\sqrt{3}}{b}y + \frac{4}{b^2}y^2 \right) dy \\ &= \pi a^2 \left[ 3y - \frac{2\sqrt{3}}{b}y^2 + \frac{4}{3b^2}y^3 \right]_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}b} \\ &= \pi a^2 \left\{ 3 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}b \right) - \frac{2\sqrt{3}}{b} \left( \frac{3}{4}b^2 \right) + \frac{4}{3b^2} \left( \frac{3\sqrt{3}}{8}b^3 \right) \right\} \\ &= \pi a^2 \left( \frac{3\sqrt{3}}{2}b - \frac{3\sqrt{3}}{2}b + \frac{\sqrt{3}}{2}b \right) \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2}\pi a^2 b \end{aligned} $$

したがって、求める体積 $V$ は

$$ V = 2V_1 = \sqrt{3}\pi a^2 b $$

解法2

$y$ 軸方向に $\frac{a}{b}$ 倍する変換 $(x, y) \mapsto \left(X, Y\right) = \left(x, \frac{a}{b}y\right)$ を考える。

この変換によって、楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ は円 $X^2 + Y^2 = a^2$ に写る。 $x$ 軸上の点 $(2a, 0)$ は変換後も同じ座標 $(2a, 0)$ であるため、だ円に引いた2つの接線は、円 $X^2 + Y^2 = a^2$ に点 $(2a, 0)$ から引いた接線に写る。

求める体積を $V$ とすると、$V$ は以下の積分で計算できる。

$$ V = \int \pi x^2 dy $$

ここで $y = \frac{b}{a}Y$ より $dy = \frac{b}{a}dY$ であり、$x = X$ であるから

$$ V = \int \pi X^2 \left( \frac{b}{a} dY \right) = \frac{b}{a} \int \pi X^2 dY $$

となる。 右辺の積分 $\int \pi X^2 dY$ を $V'$ とおくと、これは変換後の領域（円とその接線に囲まれた部分）を $Y$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を意味する。

点 $(2a, 0)$ から円 $X^2 + Y^2 = a^2$ に引いた接線の接点を $(X_1, Y_1)$ とすると、接線の方程式は $X_1 X + Y_1 Y = a^2$ である。 これが $(2a, 0)$ を通るから

$$ 2a X_1 = a^2 \iff X_1 = \frac{a}{2} $$

接点は円上の点であるから、$\left(\frac{a}{2}\right)^2 + Y_1^2 = a^2 \iff Y_1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}a$ となる。

図形は $X$ 軸対称であるから、第1象限の部分を $Y$ 軸のまわりに1回転した体積 $V'_1$ を求めて2倍すればよい。 第1象限の接点 $\left( \frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a \right)$ における接線の方程式は

$$ \frac{a}{2}X + \frac{\sqrt{3}}{2}a Y = a^2 \iff X = 2a - \sqrt{3}Y $$

また、第1象限における円の式は $X = \sqrt{a^2 - Y^2}$ である。 したがって、$V'_1$ は

$$ \begin{aligned} V'_1 &= \pi \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}a} \left\{ (2a - \sqrt{3}Y)^2 - (\sqrt{a^2 - Y^2})^2 \right\} dY \\ &= \pi \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}a} \left( 4a^2 - 4\sqrt{3}aY + 3Y^2 - a^2 + Y^2 \right) dY \\ &= \pi \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}a} \left( 3a^2 - 4\sqrt{3}aY + 4Y^2 \right) dY \\ &= \pi \left[ 3a^2 Y - 2\sqrt{3}aY^2 + \frac{4}{3}Y^3 \right]_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}a} \\ &= \pi \left\{ 3a^2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}a \right) - 2\sqrt{3}a \left( \frac{3}{4}a^2 \right) + \frac{4}{3} \left( \frac{3\sqrt{3}}{8}a^3 \right) \right\} \\ &= \pi \left( \frac{3\sqrt{3}}{2}a^3 - \frac{3\sqrt{3}}{2}a^3 + \frac{\sqrt{3}}{2}a^3 \right) \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2}\pi a^3 \end{aligned} $$

全体積 $V'$ は $V' = 2V'_1 = \sqrt{3}\pi a^3$ となる。 よって、求める体積 $V$ は

$$ V = \frac{b}{a} V' = \frac{b}{a} \cdot \sqrt{3}\pi a^3 = \sqrt{3}\pi a^2 b $$

解説

回転体の体積を求める典型的な問題です。$x$ 軸まわりの回転であれば $\pi \int y^2 dx$ となりますが、今回は $y$ 軸まわりの回転なので $\pi \int x^2 dy$ を計算することになります。このとき、$y$ の関数として $x$ を表し、外側の半径の2乗から内側の半径の2乗を引いて積分する円盤法が最もスムーズです。バウムクーヘン積分（$2\pi \int x y dx$）を用いることも可能ですが、積分区間を分割する必要が生じるため計算が煩雑になります。

また、解法2のように楕円を円に帰着させるアフィン変換（あるいは変数変換）を用いると、扱いやすい円の幾何を利用でき、積分計算時の文字の扱いもシンプルになるため、計算ミスのリスクを大幅に減らすことができます。

答え

$$ \sqrt{3}\pi a^2 b $$