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東京工業大学 1988年理系第5問解説

方針・初手

与えられた式は、階乗（または二項係数）を含む式の $n$ 乗根の極限である。このような極限では、式全体の自然対数をとることで、積の形を和の形に変換し、区分求積法に持ち込むのが定石である。まずは二項係数を階乗の形に直し、さらに積の記号 $\prod$ を用いて整理することで、区分求積法が適用できる形（$\frac{1}{n} \sum f\left(\frac{k}{n}\right)$）を作り出すことを目標とする。

解法1

求める極限値を $L$ とし、数列 $A_n$ を次のように定める。

$$ A_n = \left( \frac{{}_{3n}\mathrm{C}_{n}}{{}_{2n}\mathrm{C}_{n}} \right)^{\frac{1}{n}} $$

両辺の自然対数をとると、次のようになる。

$$ \log A_n = \frac{1}{n} \log \left( \frac{{}_{3n}\mathrm{C}_{n}}{{}_{2n}\mathrm{C}_{n}} \right) $$

ここで、括弧の中の二項係数を階乗を用いて展開する。

$$ {}_{3n}\mathrm{C}_{n} = \frac{(3n)!}{n!(2n)!} $$

$$ {}_{2n}\mathrm{C}_{n} = \frac{(2n)!}{n!n!} $$

これらを用いると、比は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{3n}\mathrm{C}_{n}}{{}_{2n}\mathrm{C}_{n}} &= \frac{(3n)!}{n!(2n)!} \div \frac{(2n)!}{n!n!} \\ &= \frac{(3n)!}{n!(2n)!} \times \frac{n!n!}{(2n)!} \\ &= \frac{(3n)!}{(2n)!} \times \frac{n!}{(2n)!} \\ &= \frac{(3n)!}{(2n)!} \div \frac{(2n)!}{n!} \end{aligned} $$

それぞれの階乗の商は、連続する整数の積として表すことができる。

$$ \frac{(3n)!}{(2n)!} = (2n+1)(2n+2)\cdots(3n) = \prod_{k=1}^n (2n+k) $$

$$ \frac{(2n)!}{n!} = (n+1)(n+2)\cdots(2n) = \prod_{k=1}^n (n+k) $$

したがって、二項係数の比は次のように1つの積にまとめることができる。

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{3n}\mathrm{C}_{n}}{{}_{2n}\mathrm{C}_{n}} &= \frac{\prod_{k=1}^n (2n+k)}{\prod_{k=1}^n (n+k)} \\ &= \prod_{k=1}^n \frac{2n+k}{n+k} \end{aligned} $$

この式の分子と分母をそれぞれ $n$ で割ることで、$\frac{k}{n}$ の形を作り出す。

$$ \prod_{k=1}^n \frac{2n+k}{n+k} = \prod_{k=1}^n \frac{2+\frac{k}{n}}{1+\frac{k}{n}} $$

これを $\log A_n$ の式に代入し、対数の性質 $\log(\prod x_k) = \sum \log x_k$ を用いると、次のように和の形に変形できる。

$$ \begin{aligned} \log A_n &= \frac{1}{n} \log \left( \prod_{k=1}^n \frac{2+\frac{k}{n}}{1+\frac{k}{n}} \right) \\ &= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log \left( \frac{2+\frac{k}{n}}{1+\frac{k}{n}} \right) \end{aligned} $$

ここで $n \to \infty$ の極限をとると、区分求積法により和は定積分へと移行する。

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \log A_n &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log \left( \frac{2+\frac{k}{n}}{1+\frac{k}{n}} \right) \\ &= \int_0^1 \log \left( \frac{2+x}{1+x} \right) dx \\ &= \int_0^1 \{ \log(2+x) - \log(1+x) \} dx \end{aligned} $$

部分積分を用いて不定積分 $\int \log(x+a) dx = (x+a)\log(x+a) - (x+a) + C$ であることを利用して、この定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \log(2+x) dx &= \Big[ (x+2)\log(x+2) - (x+2) \Big]_0^1 \\ &= (3\log 3 - 3) - (2\log 2 - 2) \\ &= 3\log 3 - 2\log 2 - 1 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \log(1+x) dx &= \Big[ (x+1)\log(x+1) - (x+1) \Big]_0^1 \\ &= (2\log 2 - 2) - (1\log 1 - 1) \\ &= 2\log 2 - 1 \end{aligned} $$

よって、定積分の値は次のようになる。

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \log A_n &= (3\log 3 - 2\log 2 - 1) - (2\log 2 - 1) \\ &= 3\log 3 - 4\log 2 \\ &= \log 3^3 - \log 2^4 \\ &= \log \frac{27}{16} \end{aligned} $$

対数関数 $\log x$ および指数関数 $e^x$ は連続であるため、極限と関数の順序を交換することができる。

$$ \log \left( \lim_{n \to \infty} A_n \right) = \log \frac{27}{16} $$

したがって、求める極限値 $L$ は次のようになる。

$$ L = \lim_{n \to \infty} A_n = \frac{27}{16} $$

解説

「$n$ 乗根や積の形を含む式の極限は、対数をとって区分求積法」という典型的なパターン問題である。二項係数の比を階乗の積で表し、適切に約分を行うことで $\prod_{k=1}^n \frac{2n+k}{n+k}$ という形に整理できるかが第一の関門となる。対数をとった後は $\frac{k}{n}$ の形を作ることで定積分へと持ち込めるが、積分計算 $\int \log(x+a) dx$ の処理においてミスが起きやすいため、丁寧な計算が求められる。