トップ› 東京工業大学› 2000年› 理系第1問

東京工業大学 2000年理系第1問解説

方針・初手

円における光の反射の法則から、光の軌跡をなす各弦の長さが等しくなることに着目する。すべての弦が中心角を等しく見込む性質を利用し、各反射点の座標を極座標（偏角）を用いて $\theta$ で表すことで、見通しよく条件を立式できる。

解法1

(1)

光線の出発点を $A(1, 0)$、円の中心を $O(0, 0)$ とする。1回目の反射点を $Q_1$、2回目の反射点を $Q_2$ とし、さらに光線が直進したときに円と交わる点を $Q_3$ とする。

$\triangle OAQ_1$ は $OA = OQ_1 = 1$ の二等辺三角形であり、$\angle OAQ_1 = \theta$ であるから $\angle OQ_1A = \theta$ となる。したがって、弦 $AQ_1$ が張る中心角は $\angle AOQ_1 = \pi - 2\theta$ である。

円における反射の法則（入射角と反射角が等しい）より、光の軌跡をなす弦 $AQ_1, Q_1Q_2, Q_2Q_3, \dots$ はすべて等しい長さとなる。よって、それぞれの弦が中心 $O$ に張る角もすべて $\pi - 2\theta$ である。正の $x$ 軸からの偏角を考えると、各点は反時計回りに $\pi - 2\theta$ ずつ進む。したがって、$n$ 回目の交点 $Q_n$ の偏角 $\alpha_n$ は $\alpha_n = n(\pi - 2\theta)$ と表せる。

具体的には、各偏角は以下のようになる。 $\alpha_1 = \pi - 2\theta$ $\alpha_2 = 2\pi - 4\theta$ $\alpha_3 = 3\pi - 6\theta$

題意の状況「2回半円に反射したのち、$x$ 軸上の点 $P$ を通過する」が起こるためには、以下の3条件を同時に満たす必要がある。

(i)

$Q_1$ が $y > 0$ の半円周上にある。 (ii)

$Q_2$ が $y > 0$ の半円周上にある。 (iii)

$Q_2$ で反射した光線が、円の内部で $x$ 軸と交わる。これは $Q_3$ が $y < 0$ の円周上にあることと同値である。

それぞれ不等式で表すと以下のようになる。

(i)

$0 < \pi - 2\theta < \pi$ より、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ (ii)

$0 < 2\pi - 4\theta < \pi$ より、$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$ (iii)

$\pi < 3\pi - 6\theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{3}$

これら3つの共通範囲をとって、$\theta$ の範囲が定まる。

$$ \frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{3} $$

(2)

点 $P$ は直線 $Q_2Q_3$ と $x$ 軸 ($y=0$) の交点であるため、直線 $Q_2Q_3$ の方程式を求める。

$Q_2(\cos(2\pi - 4\theta), \sin(2\pi - 4\theta)) = (\cos 4\theta, -\sin 4\theta)$ $Q_3(\cos(3\pi - 6\theta), \sin(3\pi - 6\theta)) = (\cos(6\theta - \pi), -\sin(6\theta - \pi)) = (-\cos 6\theta, \sin 6\theta)$

和積の公式を用いて、直線 $Q_2Q_3$ の傾き $m$ を計算する。

$$ \begin{aligned} m &= \frac{\sin 6\theta - (-\sin 4\theta)}{-\cos 6\theta - \cos 4\theta} \\ &= \frac{\sin 6\theta + \sin 4\theta}{-(\cos 6\theta + \cos 4\theta)} \\ &= \frac{2\sin 5\theta \cos\theta}{-2\cos 5\theta \cos\theta} \\ &= -\frac{\sin 5\theta}{\cos 5\theta} \end{aligned} $$

（（1）の範囲において $\cos\theta \neq 0$、$\cos 5\theta \neq 0$ である）これより、直線 $Q_2Q_3$ の方程式は以下のようになる。

$$ y - (-\sin 4\theta) = -\frac{\sin 5\theta}{\cos 5\theta} (x - \cos 4\theta) $$

分母を払って整理する。

$$ x \sin 5\theta + y \cos 5\theta = \sin 5\theta \cos 4\theta - \cos 5\theta \sin 4\theta $$

右辺に加法定理 $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$ を適用する。

$$ x \sin 5\theta + y \cos 5\theta = \sin(5\theta - 4\theta) = \sin\theta $$

点 $P$ はこの直線上の $y = 0$ の点であるから、$y = 0$ を代入する。

$$ x \sin 5\theta = \sin\theta $$

（1）の範囲 $\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{3}$ より、$5\theta \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{5\pi}{3}\right)$ であり $\sin 5\theta \neq 0$ であるため、両辺を割ることができる。

$$ x = \frac{\sin\theta}{\sin 5\theta} $$

よって、点 $P$ の座標は $\left( \frac{\sin\theta}{\sin 5\theta}, 0 \right)$ である。

(3)

点 $P$ の $x$ 座標を $x(\theta) = \frac{\sin\theta}{\sin 5\theta}$ とおき、$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{3}$ における値域を求める。分母の $\sin 5\theta$ を加法定理で展開し、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の式で表す。

$$ \begin{aligned} \sin 5\theta &= \sin(3\theta + 2\theta) \\ &= \sin 3\theta \cos 2\theta + \cos 3\theta \sin 2\theta \\ &= (3\sin\theta - 4\sin^3\theta)(1 - 2\sin^2\theta) + (4\cos^3\theta - 3\cos\theta)(2\sin\theta\cos\theta) \\ &= \sin\theta \{ (3 - 4\sin^2\theta)(1 - 2\sin^2\theta) + 2\cos^2\theta(4\cos^2\theta - 3) \} \end{aligned} $$

ここで、$t = \cos^2\theta$ とおく。$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{3}$ より、$\frac{1}{2} < \cos\theta < \frac{1}{\sqrt{2}}$ であるから、定義域は $\frac{1}{4} < t < \frac{1}{2}$ となる。 $\sin^2\theta = 1 - t$ を代入して整理する。

$$ \begin{aligned} \frac{\sin 5\theta}{\sin\theta} &= \{3 - 4(1 - t)\}\{1 - 2(1 - t)\} + 2t(4t - 3) \\ &= (4t - 1)(2t - 1) + 8t^2 - 6t \\ &= (8t^2 - 6t + 1) + 8t^2 - 6t \\ &= 16t^2 - 12t + 1 \end{aligned} $$

$g(t) = 16t^2 - 12t + 1$ とおくと、$x = \frac{1}{g(t)}$ となる。$g(t)$ を平方完成する。

$$ g(t) = 16\left(t - \frac{3}{8}\right)^2 - \frac{5}{4} $$

定義域 $\frac{1}{4} < t < \frac{1}{2}$ において、頂点 $t = \frac{3}{8}$ は区間内に含まれるため、ここで最小値をとる。区間の端点における値は以下の通りである。

$$ g\left(\frac{1}{4}\right) = 16\left(\frac{1}{16}\right) - 12\left(\frac{1}{4}\right) + 1 = -1 $$

$$ g\left(\frac{1}{2}\right) = 16\left(\frac{1}{4}\right) - 12\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = -1 $$

したがって、$g(t)$ のとり得る値の範囲は以下のようになる。

$$ -\frac{5}{4} \leqq g(t) < -1 $$

逆数をとると不等号の向きが反転し、以下の範囲を得る。

$$ -1 < \frac{1}{g(t)} \leqq -\frac{4}{5} $$

ゆえに、点 $P$ の動く範囲は、$x$ 軸上の $-1 < x \leqq -\frac{4}{5}$ の部分である。

解法2

（2）の直線の方程式を求める過程は、幾何学的な性質を用いるとより簡潔に導出できる。

点 $Q_2$ と $Q_3$ を結ぶ線分 $Q_2Q_3$ の中点を $M$ とする。 $\triangle OQ_2Q_3$ は $OQ_2 = OQ_3 = 1$ の二等辺三角形であり、その中心角は $\angle Q_2OQ_3 = \pi - 2\theta$ である。 $OM \perp Q_2Q_3$ であり、直角三角形 $\triangle OMQ_2$ に着目すると、原点 $O$ から直線 $Q_2Q_3$ への距離 $OM$ は次のように求まる。

$$ OM = OQ_2 \cos\left(\frac{\pi - 2\theta}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta $$

また、点 $M$ の偏角は $Q_2$ と $Q_3$ の偏角の平均であるため、次のように求まる。

$$ \frac{(2\pi - 4\theta) + (3\pi - 6\theta)}{2} = \frac{5\pi}{2} - 5\theta $$

原点からの距離が $\sin\theta$、法線方向の角が $\frac{5\pi}{2} - 5\theta$ である直線の方程式は、ヘッセの標準形を用いて次のように表せる。

$$ x \cos\left(\frac{5\pi}{2} - 5\theta\right) + y \sin\left(\frac{5\pi}{2} - 5\theta\right) = \sin\theta $$

ここで、三角関数の性質により以下の変換ができる。

$$ \cos\left(\frac{5\pi}{2} - 5\theta\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{2} - 5\theta\right) = \sin 5\theta $$

$$ \sin\left(\frac{5\pi}{2} - 5\theta\right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2} - 5\theta\right) = \cos 5\theta $$

よって、直線 $Q_2Q_3$ の方程式は $x \sin 5\theta + y \cos 5\theta = \sin\theta$ となる。点 $P$ は $y = 0$ の点であるから、$x \sin 5\theta = \sin\theta$ より $x = \frac{\sin\theta}{\sin 5\theta}$ を得る。

解説

円周上での反射は「光の軌跡をなす弦の長さと中心角が一定になる」という美しい幾何的性質を持っている。この点に気付き、極座標（偏角）を用いて処理できるかが最大の鍵である。（3）では $\sin 5\theta$ を加法定理で展開し整理する過程で、チェビシェフ多項式に関連する式変形が登場する。$\cos^2\theta = t$ と置換することで無理なく2次関数の値域問題に帰着できるが、誘導なしで解き切るには高い計算力が要求される。