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東京工業大学 2005年理系第4問解説

方針・初手

$x, y$ の対称式であることから、$s = x+y, t = xy$ とおき、$x, y$ が実数である条件と $x^2+y^2 \leqq 1$ を用いて $s, t$ の存在範囲を求めることが第一歩である。続いて (2) では、求める値を $k = t + ms$ とおき、(1) で求めた $st$ 平面上の領域において $k$ の取りうる値の範囲を考える。図形的な意味（直線の $y$ 切片ならぬ $t$ 切片）を考える方法と、変数を固定して関数の最大・最小に帰着させる方法がある。

解法1

(1)

実数 $x, y$ は、解と係数の関係より、以下の $X$ を変数とする2次方程式の2つの解である。

$$ X^2 - sX + t = 0 $$

これが実数解をもつ条件から、判別式を $D$ とすると $D \geqq 0$ であるため、

$$ D = s^2 - 4t \geqq 0 $$

よって、

$$ t \leqq \frac{1}{4}s^2 $$

また、条件 $x^2 + y^2 \leqq 1$ を $s, t$ で表すと、

$$ (x+y)^2 - 2xy \leqq 1 $$

$$ s^2 - 2t \leqq 1 $$

よって、

$$ t \geqq \frac{1}{2}s^2 - \frac{1}{2} $$

2つの放物線 $t = \frac{1}{4}s^2$ と $t = \frac{1}{2}s^2 - \frac{1}{2}$ の交点の $s$ 座標を求める。

$$ \frac{1}{4}s^2 = \frac{1}{2}s^2 - \frac{1}{2} $$

$$ s^2 = 2 $$

$$ s = \pm \sqrt{2} $$

このとき、

$$ t = \frac{1}{2} $$

以上より、点 $(s, t)$ の動く範囲は、連立不等式

$$ \begin{cases} t \leqq \frac{1}{4}s^2 \\ t \geqq \frac{1}{2}s^2 - \frac{1}{2} \end{cases} $$

の表す領域となる。これは $st$ 平面上において、2つの放物線に囲まれた部分であり、境界線を含む。

(2)

$k = xy + m(x+y) = t + ms$ とおく。(1) で求めた領域を $D$ とすると、点 $(s, t)$ が $D$ 内を動くときの $k$ の最大値と最小値を求めればよい。

領域 $D$ は、$-\sqrt{2} \leqq s \leqq \sqrt{2}$ の範囲において、$\frac{1}{2}s^2 - \frac{1}{2} \leqq t \leqq \frac{1}{4}s^2$ を満たす領域である。

$k = t + ms$ は $t$ について単調に増加するため、ある固定された $s$ に対して、$t$ が最大となるときに $k$ も最大となり、$t$ が最小となるときに $k$ も最小となる。

最大値について

$t$ の最大値は $t = \frac{1}{4}s^2$ のときであるから、

$$ k \leqq \frac{1}{4}s^2 + ms = \frac{1}{4}(s + 2m)^2 - m^2 $$

これを $f(s)$ とおく。$s$ の変域は $-\sqrt{2} \leqq s \leqq \sqrt{2}$ である。

$y = f(s)$ のグラフは下に凸な放物線であり、軸は $s = -2m$ である。 $m \geqq 0$ より軸 $s = -2m \leqq 0$ であるため、区間 $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ において軸から遠い端点は $s = \sqrt{2}$ である。したがって、$f(s)$ は常に $s = \sqrt{2}$ のとき最大となる。最大値は、

$$ f(\sqrt{2}) = \frac{1}{4}(\sqrt{2})^2 + m\sqrt{2} = \sqrt{2}m + \frac{1}{2} $$

最小値について

$t$ の最小値は $t = \frac{1}{2}s^2 - \frac{1}{2}$ のときであるから、

$$ k \geqq \frac{1}{2}s^2 - \frac{1}{2} + ms = \frac{1}{2}(s + m)^2 - \frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{2} $$

これを $g(s)$ とおく。$s$ の変域は $-\sqrt{2} \leqq s \leqq \sqrt{2}$ である。

$y = g(s)$ のグラフは下に凸な放物線であり、軸は $s = -m$ である。 $m \geqq 0$ であることから、軸が区間内に含まれるかどうかで場合分けを行う。

(i)

$s = -m$ が区間に含まれるとき（$0 \leqq m \leqq \sqrt{2}$ のとき）

$g(s)$ は頂点で最小となる。最小値は、

$$ g(-m) = -\frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{2} $$

(ii)

$s = -m$ が区間の左側に外れるとき（$m > \sqrt{2}$ のとき）

$g(s)$ は区間の左端 $s = -\sqrt{2}$ で最小となる。最小値は、

$$ g(-\sqrt{2}) = \frac{1}{2}(-\sqrt{2})^2 - \sqrt{2}m - \frac{1}{2} = -\sqrt{2}m + \frac{1}{2} $$

解法2

(2) の別解

$t + ms = k$ とおくと、

$$ t = -ms + k $$

これは $st$ 平面上において、傾き $-m$、$t$ 切片 $k$ の直線を表す。領域 $D$ とこの直線が共有点をもつような $k$ の最大値・最小値を考える。

最大値について

$m \geqq 0$ より直線の傾きは $0$ 以下である。直線を上方に平行移動して $k$ を大きくしていくと、最後に領域と共有点をもつのは、右側の交点 $(\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ を通るときである。したがって、最大値は、

$$ k = \frac{1}{2} + \sqrt{2}m $$

最小値について

直線を下方に平行移動して $k$ を小さくしていくと、下側の境界である放物線 $t = \frac{1}{2}s^2 - \frac{1}{2}$ （$-\sqrt{2} \leqq s \leqq \sqrt{2}$）と接するか、左側の交点 $(-\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ を通るかのいずれかで最後に共有点をもつ。

放物線 $t = \frac{1}{2}s^2 - \frac{1}{2}$ と直線 $t = -ms + k$ が接する条件を求める。

$$ \frac{1}{2}s^2 - \frac{1}{2} = -ms + k $$

$$ s^2 + 2ms - 2k - 1 = 0 $$

判別式が $0$ となればよいので、

$$ m^2 - (-2k - 1) = 0 $$

$$ k = -\frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{2} $$

このときの接点の $s$ 座標は重解 $s = -m$ である。接点が領域の端点の間にあるかどうかで場合分けを行う。

（i）接点 $s = -m$ が領域の $s$ の範囲に含まれるとき（$0 \leqq m \leqq \sqrt{2}$ のとき）

接するときに $k$ は最小となる。最小値は、

$$ k = -\frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{2} $$

（ii）接点 $s = -m$ が領域の $s$ の範囲から外れるとき（$m > \sqrt{2}$ のとき）

接する前に領域の左端の点 $(-\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ を通過して領域から離れるため、この点を通るときに $k$ が最小となる。最小値は、

$$ k = -m(-\sqrt{2}) + \frac{1}{2} = -\sqrt{2}m + \frac{1}{2} $$

解説

2変数の対称式の取り扱いの基本問題である。(1) において、実数条件から導かれる判別式 $D \geqq 0$ の条件を見落とさないことが重要である。 (2) は、解法1のように1文字を固定して2次関数の最大・最小問題に帰着させる手法と、解法2のように線形計画法の考え方を用いて図形的に処理する手法のどちらでも解決可能である。解法1は論理が機械的に進むため安全であり、解法2は視覚的に結果が分かりやすいという利点がある。