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大阪大学 2017年理系第1問解説

方針・初手

問題の指示に従い、各点 $P, Q, R$ の座標を $s, t$ を用いて順に求める。点 $A, B$ は双曲線上の点であり、それぞれの接線は $x$ 軸に垂直な直線となる。点 $C(s, t)$ が双曲線上にあるという条件から $s^2 - t^2 = 1$ が成り立つが、一直線上に並ぶことを示すための計算では、必ずしもこの条件式を代入しなくても証明が可能である。3点が一直線上にあること（共線条件）は、2点を通る直線の傾きともう1つの点とを繋ぐ直線の傾きが等しいことを示す方針が簡明である。

解法1

(1)

双曲線 $H : x^2 - y^2 = 1$ 上の点 $A(-1, 0)$ における接線の方程式は、

$$ -1 \cdot x - 0 \cdot y = 1 $$

すなわち、直線 $x = -1$ である。

また、点 $C(s, t)$ は双曲線上の点であり、$t \neq 0$ より $C$ は $x$ 軸上にないため、$s \neq 1$ である。 2点 $B(1, 0), C(s, t)$ を通る直線 $BC$ の方程式は、

$$ y = \frac{t - 0}{s - 1} (x - 1) $$

すなわち、

$$ y = \frac{t}{s - 1} (x - 1) $$

である。

点 $P$ は直線 $x = -1$ と直線 $BC$ の交点であるから、直線 $BC$ の方程式に $x = -1$ を代入して、

$$ y = \frac{t}{s - 1} (-1 - 1) = -\frac{2t}{s - 1} $$

したがって、点 $P$ の座標は $\left(-1, -\frac{2t}{s - 1}\right)$ である。

(2)

点 $C(s, t)$ における双曲線 $H$ の接線の方程式は、

$$ sx - ty = 1 $$

である。

また、直線 $AB$ は $x$ 軸そのものであるから、その方程式は $y = 0$ である。点 $Q$ はこれらの直線の交点であるから、$y = 0$ を接線の方程式に代入して、

$$ sx = 1 $$

点 $C$ は $H$ 上にあるため $s^2 - t^2 = 1$ であり、$t \neq 0$ より $s^2 = 1 + t^2 > 1$ であるから $s \neq 0$ である。よって、$x = \frac{1}{s}$ となる。

したがって、点 $Q$ の座標は $\left(\frac{1}{s}, 0\right)$ である。

(3)

点 $B(1, 0)$ における双曲線 $H$ の接線の方程式は、

$$ 1 \cdot x - 0 \cdot y = 1 $$

すなわち、直線 $x = 1$ である。

また、点 $C(s, t)$ は双曲線上の点であり、$t \neq 0$ より $s \neq -1$ である。 2点 $A(-1, 0), C(s, t)$ を通る直線 $AC$ の方程式は、

$$ y = \frac{t - 0}{s - (-1)} (x - (-1)) $$

すなわち、

$$ y = \frac{t}{s + 1} (x + 1) $$

である。

点 $R$ は直線 $x = 1$ と直線 $AC$ の交点であるから、直線 $AC$ の方程式に $x = 1$ を代入して、

$$ y = \frac{t}{s + 1} (1 + 1) = \frac{2t}{s + 1} $$

したがって、点 $R$ の座標は $\left(1, \frac{2t}{s + 1}\right)$ である。

次に、3点 $P\left(-1, -\frac{2t}{s - 1}\right), Q\left(\frac{1}{s}, 0\right), R\left(1, \frac{2t}{s + 1}\right)$ が一直線上にあることを示す。 $s^2 > 1$ より $s \neq 0, \pm 1$ であるから、これら3点の $x$ 座標はすべて異なる。直線 $PQ$ の傾き $m_1$ を求めると、

$$ m_1 = \frac{0 - \left(-\frac{2t}{s - 1}\right)}{\frac{1}{s} - (-1)} = \frac{\frac{2t}{s - 1}}{\frac{s + 1}{s}} = \frac{2ts}{(s - 1)(s + 1)} $$

直線 $QR$ の傾き $m_2$ を求めると、

$$ m_2 = \frac{\frac{2t}{s + 1} - 0}{1 - \frac{1}{s}} = \frac{\frac{2t}{s + 1}}{\frac{s - 1}{s}} = \frac{2ts}{(s + 1)(s - 1)} $$

ゆえに、$m_1 = m_2$ が成り立つ。点 $Q$ を共有する2直線の傾きが等しいため、3点 $P, Q, R$ は一直線上にある。

解説

2次曲線の接線や交点を扱う標準的な解析幾何の証明問題である。各点の座標を文字定数 $s, t$ を用いて表し、それらが共線条件（同一線上にある条件）を満たすかを確認するだけである。本問のように点 $A, B$ が定点かつ扱いやすい座標であるため、計算は非常にシンプルになる。

なお、解答の通り、最終的な共線条件の確認において $C$ が双曲線上にある条件 $s^2 - t^2 = 1$ を用いることなく証明が完了する。これは、点 $C$ における接線という条件を「極線」として捉えた場合、点 $C$ が双曲線上になくても（極と極線の関係として）成立する図形的性質の現れである。