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名古屋大学 2009年理系第1問解説

方針・初手

(1) は、点 $B$ が双曲線上にある条件と、点 $B$ における双曲線の接線と円の接線が一致する（または双曲線の法線が円の中心を通る）という条件を立式し、連立方程式を解いて $r, s, t$ を $a, b$ で表す。

(2) は、点 $A$ は $y$ 軸上にあり、点 $B$ と点 $C$ は $y$ 軸に関して対称であるため、$\triangle ABC$ は $AB=AC$ の二等辺三角形となる。これが正三角形になる条件を式で表し、(1) の結果を用いて $a^2$ について解き、条件 $a>0$ を満たすような実数 $a$ が存在する $b$ の範囲を求める。

解法1

(1)

点 $B(s, t)$ は双曲線 $x^2 - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点であるから、

$$s^2 - \frac{t^2}{b^2} = 1 \quad \cdots \text{①}$$

点 $B$ における双曲線の接線の方程式は

$$sx - \frac{t}{b^2}y = 1 \quad \cdots \text{②}$$

点 $B$ において円と双曲線の接線が一致するため、円の中心 $A(0, a)$ と接点 $B(s, t)$ を通る直線（円の法線）は、接線②と垂直に交わる。すなわち、点 $B$ における双曲線の法線が点 $A$ を通る。接線②の法線ベクトルは $\left(s, -\frac{t}{b^2}\right)$ であるから、点 $B$ における法線の方程式は

$$\frac{t}{b^2}(x - s) + s(y - t) = 0$$

これが点 $A(0, a)$ を通るので、

$$\frac{t}{b^2}(0 - s) + s(a - t) = 0$$

$s > 0$ であるから両辺を $s$ で割って、

$$-\frac{t}{b^2} + a - t = 0$$

$$t\left(1 + \frac{1}{b^2}\right) = a$$

$$t \cdot \frac{b^2+1}{b^2} = a$$

よって、

$$t = \frac{ab^2}{b^2+1}$$

①より、

$$s^2 = 1 + \frac{t^2}{b^2} = 1 + \frac{1}{b^2} \left( \frac{ab^2}{b^2+1} \right)^2 = 1 + \frac{a^2b^2}{(b^2+1)^2}$$

$s > 0$ より、

$$s = \sqrt{1 + \frac{a^2b^2}{(b^2+1)^2}}$$

円の半径 $r$ は線分 $AB$ の長さに等しいため、$r^2 = (s - 0)^2 + (t - a)^2 = s^2 + (t - a)^2$ となる。ここで、$t - a = \frac{ab^2}{b^2+1} - a = -\frac{a}{b^2+1}$ であるから、

$$r^2 = 1 + \frac{a^2b^2}{(b^2+1)^2} + \left( -\frac{a}{b^2+1} \right)^2$$

$$r^2 = 1 + \frac{a^2b^2 + a^2}{(b^2+1)^2} = 1 + \frac{a^2(b^2+1)}{(b^2+1)^2} = 1 + \frac{a^2}{b^2+1}$$

$r > 0$ より、

$$r = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2+1}}$$

(2)

点 $A$ は $y$ 軸上にあり、点 $B(s, t)$ と点 $C(-s, t)$ は $y$ 軸に関して対称であるから、$AB = AC$ の二等辺三角形である。 $\triangle ABC$ が正三角形となる条件は、$AB = BC$ が成り立つことである。 $BC = 2s$, $AB = r$ であるから、正三角形となる条件は $r = 2s$ すなわち $r^2 = 4s^2$ である。 (1) で求めた $r^2, s^2$ を代入すると、

$$1 + \frac{a^2}{b^2+1} = 4 \left( 1 + \frac{a^2b^2}{(b^2+1)^2} \right)$$

$$1 + \frac{a^2}{b^2+1} = 4 + \frac{4a^2b^2}{(b^2+1)^2}$$

$a$ について整理する。

$$\frac{a^2}{b^2+1} - \frac{4a^2b^2}{(b^2+1)^2} = 3$$

$$\frac{a^2(b^2+1 - 4b^2)}{(b^2+1)^2} = 3$$

$$\frac{a^2(1 - 3b^2)}{(b^2+1)^2} = 3$$

$$a^2(1 - 3b^2) = 3(b^2+1)^2$$

$b^2 > 0$ より $3(b^2+1)^2 > 0$ であり、$a > 0$ より $a^2 > 0$ であるから、等式が成り立つためには $1 - 3b^2 > 0$ でなければならない。よって、

$$b^2 < \frac{1}{3}$$

$b > 0$ であるから、

$$0 < b < \frac{\sqrt{3}}{3}$$

このとき、$a = \sqrt{\frac{3(b^2+1)^2}{1 - 3b^2}}$ ととれば $a > 0$ であり、条件を満たす $r$ も $r = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2+1}}$ により一意に正の値として定まる。したがって、条件を満たす $a, r$ が存在するような $b$ の値の範囲は $0 < b < \frac{\sqrt{3}}{3}$ である。

解法2

(1)

点 $B(s, t)$ における双曲線の接線の方程式は

$$sx - \frac{t}{b^2}y = 1 \quad \cdots \text{①}$$

点 $B(s, t)$ における円 $x^2 + (y-a)^2 = r^2$ の接線の方程式は

$$s(x - s) + (t - a)(y - t) = 0$$

$$sx + (t - a)y = s^2 + t^2 - at \quad \cdots \text{②}$$

双曲線と円の接線が一致するので、直線①と直線②は同一の直線である。 ①は原点を通らないため、②も原点を通らない。すなわち $s^2 + t^2 - at \neq 0$ である。 ②の両辺を $s^2 + t^2 - at$ で割ると、

$$\frac{s}{s^2 + t^2 - at}x + \frac{t - a}{s^2 + t^2 - at}y = 1 \quad \cdots \text{③}$$

①と③の各係数を比較して、

$$s = \frac{s}{s^2 + t^2 - at}$$

$$-\frac{t}{b^2} = \frac{t - a}{s^2 + t^2 - at}$$

$s > 0$ より第1式から、

$$s^2 + t^2 - at = 1 \quad \cdots \text{④}$$

これを第2式に代入すると、

$$-\frac{t}{b^2} = t - a$$

$$a = t + \frac{t}{b^2} = t \left( \frac{b^2+1}{b^2} \right)$$

よって、

$$t = \frac{ab^2}{b^2+1}$$

また、点 $B(s, t)$ は双曲線上にあるため、

$$s^2 - \frac{t^2}{b^2} = 1$$

$$s^2 = 1 + \frac{t^2}{b^2} = 1 + \frac{1}{b^2} \left( \frac{ab^2}{b^2+1} \right)^2 = 1 + \frac{a^2b^2}{(b^2+1)^2}$$

$s > 0$ より、

$$s = \sqrt{1 + \frac{a^2b^2}{(b^2+1)^2}}$$

円の半径 $r$ について、$r^2 = (s - 0)^2 + (t - a)^2 = s^2 + t^2 - 2at + a^2$ である。 ④より $s^2 + t^2 = 1 + at$ であるから、

$$r^2 = (1 + at) - 2at + a^2 = 1 - at + a^2$$

ここで $at = a \cdot \frac{ab^2}{b^2+1} = \frac{a^2b^2}{b^2+1}$ を代入すると、

$$r^2 = 1 - \frac{a^2b^2}{b^2+1} + a^2 = 1 + \frac{-a^2b^2 + a^2(b^2+1)}{b^2+1} = 1 + \frac{a^2}{b^2+1}$$

$r > 0$ より、

$$r = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2+1}}$$

(2)

$\triangle ABC$ は $y$ 軸に対称な二等辺三角形であるから、底辺 $BC$ の中点を $M(0, t)$ とすると、$AM \perp BC$ である。 $\triangle ABC$ が正三角形になるための条件は、辺の比から $AM = \sqrt{3} BM$ が成り立つことである。 $M(0, t)$ に対して、$AM = |t - a|$、$BM = s$ であるから、

$$|t - a| = \sqrt{3}s$$

両辺を2乗して、

$$(t - a)^2 = 3s^2$$

(1) より $t - a = \frac{ab^2}{b^2+1} - a = -\frac{a}{b^2+1}$ であり、$s^2 = 1 + \frac{a^2b^2}{(b^2+1)^2}$ であるから、

$$\left( -\frac{a}{b^2+1} \right)^2 = 3 \left( 1 + \frac{a^2b^2}{(b^2+1)^2} \right)$$

$$\frac{a^2}{(b^2+1)^2} = 3 + \frac{3a^2b^2}{(b^2+1)^2}$$

両辺に $(b^2+1)^2$ を掛けて整理する。

$$a^2 = 3(b^2+1)^2 + 3a^2b^2$$

$$a^2(1 - 3b^2) = 3(b^2+1)^2$$

$a > 0$ となる実数 $a$ が存在するためには、等式の右辺が正であるから左辺も正でなければならない。よって $1 - 3b^2 > 0$ となり、

$$b^2 < \frac{1}{3}$$

$b > 0$ より、

$$0 < b < \frac{\sqrt{3}}{3}$$

解説

2つの図形が接する条件についての典型問題である。(1) では「2曲線の共有点におけるそれぞれの接線が一致する」という定義そのままに接線の係数を比較して立式してもよいし（解法2）、円に特有な性質として「接線が一致する $\Leftrightarrow$ 接点における法線が円の中心を通る」と言い換えて立式してもよい（解法1）。どちらの解法も標準的な処理であるが、法線が中心を通るアプローチの方が計算量がやや少なく済む。

(2) は (1) で求めた文字を用いた計算問題となる。$b$ の範囲を求めるにあたって、$a>0$ が実数として存在するための条件に帰着させるのがポイントである。