東京大学 1964年 文系 第4問 解説

方針・初手

問題文で与えられた「ある点が線分の中点である」という条件を、点の座標（または位置ベクトル）の等式として立式する。未知の点 $P_1, P_2, P_3, P_4$ についての連立方程式が得られるので、文字を消去して1つの点の座標を求める。1つの点が求まれば、中点の条件から順次他の点の座標も決定できる。四角形の面積は、座標平面上の三角形の面積公式を用いて、2つの三角形に分割して計算する。

解法1

点 $P_k$ $(k=1, 2, 3, 4)$ および $A_k$ の座標をそのまま位置ベクトルとして表す。 条件より、それぞれの点は線分の中点であるから、以下の関係式が成り立つ。

$$ P_1 = \frac{P_4 + A_4}{2} \iff 2P_1 = P_4 + A_4 $$

$$ P_2 = \frac{P_1 + A_1}{2} \iff 2P_2 = P_1 + A_1 $$

$$ P_3 = \frac{P_2 + A_2}{2} \iff 2P_3 = P_2 + A_2 $$

$$ P_4 = \frac{P_3 + A_3}{2} \iff 2P_4 = P_3 + A_3 $$

これらを連立して $P_1$ を求める。第1式から $P_4 = 2P_1 - A_4$ を得るので、これを第4式に代入する。

$$ 2(2P_1 - A_4) = P_3 + A_3 \iff P_3 = 4P_1 - 2A_4 - A_3 $$

これを第3式に代入する。

$$ 2(4P_1 - 2A_4 - A_3) = P_2 + A_2 \iff P_2 = 8P_1 - 4A_4 - 2A_3 - A_2 $$

さらに第2式に代入する。

$$ 2(8P_1 - 4A_4 - 2A_3 - A_2) = P_1 + A_1 $$

$$ 16P_1 - 8A_4 - 4A_3 - 2A_2 = P_1 + A_1 $$

$$ 15P_1 = A_1 + 2A_2 + 4A_3 + 8A_4 $$

ここで、与えられた座標 $A_1(0, 0)$, $A_2(1, 0)$, $A_3(2, 2)$, $A_4(0, 2)$ を代入する。

$$ \begin{aligned} 15P_1 &= (0, 0) + 2(1, 0) + 4(2, 2) + 8(0, 2) \\ &= (0, 0) + (2, 0) + (8, 8) + (0, 16) \\ &= (10, 24) \end{aligned} $$

したがって、点 $P_1$ の座標は、

$$ P_1 = \left( \frac{10}{15}, \frac{24}{15} \right) = \left( \frac{2}{3}, \frac{8}{5} \right) $$

残りの点については、中点の定義式に順番に代入することで求めることができる。

$$ P_2 = \frac{P_1 + A_1}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} + 0, \frac{8}{5} + 0 \right) = \left( \frac{1}{3}, \frac{4}{5} \right) $$

$$ P_3 = \frac{P_2 + A_2}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} + 1, \frac{4}{5} + 0 \right) = \left( \frac{2}{3}, \frac{2}{5} \right) $$

$$ P_4 = \frac{P_3 + A_3}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} + 2, \frac{2}{5} + 2 \right) = \left( \frac{4}{3}, \frac{6}{5} \right) $$

次に、四辺形 $P_1P_2P_3P_4$ の面積 $S$ を求める。 この四辺形を対角線 $P_1P_3$ で $\triangle P_1P_2P_3$ と $\triangle P_1P_3P_4$ の2つに分割し、ベクトルを用いてそれぞれの面積を計算する。

$$ \vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{3}, \frac{4}{5} - \frac{8}{5} \right) = \left( -\frac{1}{3}, -\frac{4}{5} \right) $$

$$ \vec{P_1P_3} = P_3 - P_1 = \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{3}, \frac{2}{5} - \frac{8}{5} \right) = \left( 0, -\frac{6}{5} \right) $$

$$ \vec{P_1P_4} = P_4 - P_1 = \left( \frac{4}{3} - \frac{2}{3}, \frac{6}{5} - \frac{8}{5} \right) = \left( \frac{2}{3}, -\frac{2}{5} \right) $$

$\triangle P_1P_2P_3$ の面積 $S_1$ は、

$$ S_1 = \frac{1}{2} \left| \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(-\frac{6}{5}\right) - \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot 0 \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{6}{15} \right| = \frac{1}{5} $$

$\triangle P_1P_3P_4$ の面積 $S_2$ は、

$$ S_2 = \frac{1}{2} \left| 0 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) - \left(-\frac{6}{5}\right) \cdot \frac{2}{3} \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{12}{15} \right| = \frac{2}{5} $$

よって、求める四辺形の面積 $S$ は、

$$ S = S_1 + S_2 = \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5} $$

解説

連立方程式を解く際に、1文字を残して順番に代入していく手法はベクトル方程式の典型的な処理である。今回は $P_1$ を求めた後、連立方程式を再度解くのではなく、漸化式のように各座標を順次求めていくことで計算量を大幅に減らすことができる。 また、多角形の面積計算では、座標が与えられている場合、頂点の1つを原点とみなすようにベクトルをとることで、公式 $\frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$ が有効に機能する。四角形は対角線によって2つの三角形に分割して和をとるのが最も確実な手法である。

答え

各点の座標は、

$$ P_1 \left( \frac{2}{3}, \frac{8}{5} \right), \ P_2 \left( \frac{1}{3}, \frac{4}{5} \right), \ P_3 \left( \frac{2}{3}, \frac{2}{5} \right), \ P_4 \left( \frac{4}{3}, \frac{6}{5} \right) $$

四辺形 $P_1P_2P_3P_4$ の面積は、

$$ \frac{3}{5} $$