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東京大学 1997年文系第2問解説

方針・初手

点 $A$, $B$ の座標から、ベクトルを用いて第3の頂点 $C$ の座標を $a, b$ で表す。その後、正方形 $D$ は凸集合（図形内の任意の2点を結ぶ線分が図形内に含まれる性質を持つ集合）であるため、「三角形 $ABC$ 全体が $D$ に含まれる」という条件を「3頂点 $A, B, C$ がすべて $D$ に含まれる」と言い換えて不等式を立式する。 (2) は面積の式を $a, b$ で表し、それが最大になる $(a,b)$ を (1) の領域内で探索する。円の極方程式や距離の最大化問題として捉えることができる。

解法1

(1)

点 $A(a,0)$, $B(0,b)$ より、線分 $AB$ の中点 $M$ の座標は $\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)$ である。

正三角形 $ABC$ において、頂点 $C$ は線分 $AB$ の垂直二等分線上にある。ベクトル $\vec{AB} = (-a, b)$ に垂直なベクトルの1つとして $\vec{n} = (b, a)$ をとる。線分 $MC$ の長さは、正三角形の高さにあたるため $MC = \frac{\sqrt{3}}{2} |\vec{AB}|$ である。したがって、

$$ \vec{MC} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} |\vec{AB}| \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} (b, a) $$

よって、点 $C$ の座標は次のように表せる（複号同順）。

$$ C \left( \frac{a \pm \sqrt{3}b}{2}, \frac{b \pm \sqrt{3}a}{2} \right) $$

点 $C$ は第1象限の点であるため、$x$ 座標と $y$ 座標はともに正である。ここで複号が $-$ の場合を仮定すると、$\frac{a - \sqrt{3}b}{2} > 0$ かつ $\frac{b - \sqrt{3}a}{2} > 0$ より $a > \sqrt{3}b > 3a$ となり、$a > 0$ に矛盾する。したがって複号は $+$ であり、点 $C$ の座標は

$$ C \left( \frac{a + \sqrt{3}b}{2}, \frac{b + \sqrt{3}a}{2} \right) $$

と定まる。$a>0, b>0$ より、この点は常に第1象限にある。

正方形 $D = \{(x,y) | 0 \leqq x \leqq 1, 0 \leqq y \leqq 1\}$ は凸集合であるから、三角形 $ABC$ が $D$ に含まれるための必要十分条件は、3頂点 $A, B, C$ がすべて $D$ に含まれることである。

$A(a,0) \in D$ より $0 \leqq a \leqq 1$ かつ $0 \leqq 0 \leqq 1$ であり、$a>0$ と合わせて $0 < a \leqq 1$。 $B(0,b) \in D$ より $0 \leqq 0 \leqq 1$ かつ $0 \leqq b \leqq 1$ であり、$b>0$ と合わせて $0 < b \leqq 1$。 $C \in D$ より、

$$ 0 \leqq \frac{a + \sqrt{3}b}{2} \leqq 1 \quad \text{かつ} \quad 0 \leqq \frac{b + \sqrt{3}a}{2} \leqq 1 $$

$a>0, b>0$ より左側の不等式は常に成り立つ。右側の不等式を整理すると、

$$ a + \sqrt{3}b \leqq 2 \quad \text{かつ} \quad \sqrt{3}a + b \leqq 2 $$

以上より、求める $(a,b)$ の範囲は以下の連立不等式を満たす領域である。

$$ \begin{cases} 0 < a \leqq 1 \\ 0 < b \leqq 1 \\ a + \sqrt{3}b \leqq 2 \\ \sqrt{3}a + b \leqq 2 \end{cases} $$

(2)

正三角形 $ABC$ の1辺の長さを $L$ とすると $L^2 = |\vec{AB}|^2 = a^2 + b^2$ であり、面積 $S$ は

$$ S = \frac{\sqrt{3}}{4} L^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (a^2 + b^2) $$

と表せる。$S$ が最大となるのは $k = a^2 + b^2$ が最大となるときである。 (1) の条件を満たす $ab$ 平面上の領域を $R$ とする。$k$ は原点から領域 $R$ 内の点までの距離の2乗を表すため、領域 $R$ の境界線上での最大値を調べればよい。

領域 $R$ の頂点（境界の交点）の座標を求める。直線 $a=1$ と $\sqrt{3}a + b = 2$ の交点は $(1, 2-\sqrt{3})$。直線 $\sqrt{3}a + b = 2$ と $a + \sqrt{3}b = 2$ の交点は $(\sqrt{3}-1, \sqrt{3}-1)$。直線 $a + \sqrt{3}b = 2$ と $b = 1$ の交点は $(2-\sqrt{3}, 1)$。

これら3点における $k = a^2 + b^2$ の値を計算する。

点 $(1, 2-\sqrt{3})$ のとき $k = 1^2 + (2-\sqrt{3})^2 = 1 + 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 8 - 4\sqrt{3}$

点 $(\sqrt{3}-1, \sqrt{3}-1)$ のとき $k = 2(\sqrt{3}-1)^2 = 2(3 - 2\sqrt{3} + 1) = 8 - 4\sqrt{3}$

点 $(2-\sqrt{3}, 1)$ のとき $k = (2-\sqrt{3})^2 + 1^2 = 8 - 4\sqrt{3}$

このように、これら3点での距離の2乗はすべて等しい。次に境界の線分上で $k$ がこれより大きくなるか調べる。

線分 $\sqrt{3}a + b = 2$ （$\sqrt{3}-1 \leqq a \leqq 1$）上の点について考える。 $b = 2 - \sqrt{3}a$ を $k = a^2 + b^2$ に代入すると、

$$ k = a^2 + (2 - \sqrt{3}a)^2 = 4a^2 - 4\sqrt{3}a + 4 = 4\left(a - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 1 $$

この2次関数の軸は $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、これは区間 $\sqrt{3}-1 \leqq a \leqq 1$ の中点に一致する。したがって、$k$ は区間の両端である $a = \sqrt{3}-1, 1$ のときに最大値 $8 - 4\sqrt{3}$ をとる。

領域 $R$ は直線 $a=b$ に関して対称であるため、線分 $a + \sqrt{3}b = 2$ （$\sqrt{3}-1 \leqq b \leqq 1$）上でも同様に端点で最大値となる。また、境界線分 $a=1$ ($0 < b \leqq 2-\sqrt{3}$) では $k = 1 + b^2$ は単調増加であり、$b=2-\sqrt{3}$ で最大。境界線分 $b=1$ ($0 < a \leqq 2-\sqrt{3}$) でも同様に $a=2-\sqrt{3}$ で最大となる。

以上より、領域 $R$ 全体における $k$ の最大値は $8 - 4\sqrt{3}$ である。このとき、面積 $S$ の最大値は

$$ S = \frac{\sqrt{3}}{4} (8 - 4\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 3 $$

となる。

解説

(1) では「図形が別の図形に含まれる」という条件の扱い方がポイントである。正方形のような凸図形に含まれることを示すには、頂点だけが内部に含まれることを言えば十分であるという性質を知っておくと、記述が非常にシンプルになる。 (2) は図形的な意味（原点からの距離）を考え、境界の線分に帰着させるのが定石である。交点で $a^2+b^2$ の値が一致することは偶然ではなく、放物線の軸がちょうど定義域の中央に来るという構造を持っている。計算ミスを防ぐためにも、対称性を活用しながら確認を進めるとよい。