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東京大学 1966年文系第4問解説

方針・初手

定円 $O$ の中心を通る直線上に頂点 $A, R$ があり、直線 $AA'$ に関して図形全体が対称であることに着目する。四辺形 $APRQ$ は対角線が直交する凧形（kite）となるため、その面積は「$2$ つの対角線の長さの積の半分」として計算できる。

円 $A$ の半径をどのように設定するかが最初の分かれ道となる。半径自体を文字 $r$ で置く方針と、角度を用いて各線分の長さを三角比で表す方針が考えられる。角度を用いる方が、式が簡潔になり計算の負担が少ない。

解法1

図形の対称性から、点 $P$ と $Q$ は直径 $AA'$ を軸として線対称の位置にある。円 $O$ の半径は $1$ であるから、$AA' = 2$ である。

$\angle PAA' = \theta$ とおく。円 $A$ が円 $O$ と $2$ 点で交わるとき、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ である。

線分 $AA'$ は円 $O$ の直径であるから、円周角の定理より $\angle APA' = 90^\circ$ である。直角三角形 $APA'$ において、$AP$ の長さは

$$ AP = AA' \cos\theta = 2\cos\theta $$

と表される。これが円 $A$ の半径となる。点 $R$ は円 $A$ と直径 $AA'$ の交点であるから、線分 $AR$ の長さも円 $A$ の半径に等しく、

$$ AR = 2\cos\theta $$

である。

次に、点 $P$ から直線 $AA'$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。直角三角形 $APH$ において、$PH$ の長さは

$$ PH = AP \sin\theta = 2\cos\theta\sin\theta $$

となる。対称性から線分 $PQ$ は直線 $AA'$ と直交し、点 $H$ は線分 $PQ$ の中点であるから

$$ PQ = 2PH = 4\cos\theta\sin\theta $$

となる。

四辺形 $APRQ$ の対角線 $AR$ と $PQ$ は互いに直交するため、求める面積 $S$ は

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \cdot AR \cdot PQ \\ &= \frac{1}{2} (2\cos\theta)(4\cos\theta\sin\theta) \\ &= 4\cos^2\theta\sin\theta \end{aligned} $$

と表される。ここで $\sin\theta = t$ とおくと、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $0 < t < 1$ であり、

$$ \cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - t^2 $$

であるから、$S$ を $t$ の関数 $f(t)$ として表すと

$$ f(t) = 4(1 - t^2)t = 4(t - t^3) $$

となる。これを $t$ について微分すると

$$ f'(t) = 4(1 - 3t^2) $$

$0 < t < 1$ において $f'(t) = 0$ となるのは $t = \frac{1}{\sqrt{3}}$ のときである。 $0 < t < \frac{1}{\sqrt{3}}$ では $f'(t) > 0$、$\frac{1}{\sqrt{3}} < t < 1$ では $f'(t) < 0$ となるため、$f(t)$ は $t = \frac{1}{\sqrt{3}}$ で最大値をとる。

このときの最大値は

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) &= 4 \left( \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{3\sqrt{3}} \right) \\ &= 4 \cdot \frac{2}{3\sqrt{3}} \\ &= \frac{8}{3\sqrt{3}} \\ &= \frac{8\sqrt{3}}{9} \end{aligned} $$

となる。

解法2

座標平面上に、円 $O$ の中心を原点 $(0,0)$、定点 $A$ を $(-1,0)$、$A'$ を $(1,0)$ となるように設定する。円 $O$ の方程式は

$$ x^2 + y^2 = 1 $$

である。円 $A$ の半径を $r$ とする。円 $A$ が円 $O$ と $2$ 点で交わり、かつ直径 $AA'$ 上に点 $R$ が存在するための条件から、$0 < r < 2$ である。円 $A$ の方程式は

$$ (x+1)^2 + y^2 = r^2 $$

である。これら $2$ つの円の交点 $P, Q$ の座標を求めるため、第 $2$ 式から第 $1$ 式を辺々引くと

$$ (x+1)^2 - x^2 = r^2 - 1 $$

$$ 2x + 1 = r^2 - 1 $$

$$ x = \frac{r^2}{2} - 1 $$

これが点 $P, Q$ および対角線の交点の $x$ 座標である。これを円 $O$ の方程式に代入して $y$ 座標を求めると

$$ \begin{aligned} y^2 &= 1 - \left(\frac{r^2}{2} - 1\right)^2 \\ &= 1 - \left(\frac{r^4}{4} - r^2 + 1\right) \\ &= r^2 - \frac{r^4}{4} \\ &= \frac{r^2(4 - r^2)}{4} \end{aligned} $$

したがって、線分 $PQ$ の長さは $y$ 座標の正負の差であるから

$$ PQ = 2 \sqrt{\frac{r^2(4 - r^2)}{4}} = r\sqrt{4 - r^2} $$

となる。一方、点 $R$ は円 $A$ 上にあり、半直線 $AA'$ 上の点であるから、その $x$ 座標は $-1 + r$ となる。四辺形 $APRQ$ は対角線 $AR$ と $PQ$ が直交し、交点の $x$ 座標について

$$ -1 < \frac{r^2}{2} - 1 < r - 1 $$

が成り立つため、線分 $AR$ 上で交差する凸な凧形となる。対角線 $AR$ の長さは $r$ である。よって、四辺形 $APRQ$ の面積 $S$ は

$$ S = \frac{1}{2} \cdot AR \cdot PQ = \frac{1}{2} r^2 \sqrt{4 - r^2} $$

と表される。 $S > 0$ であるから、$S$ が最大となるとき、$S^2$ も最大となる。

$$ g(r) = S^2 = \frac{1}{4} r^4 (4 - r^2) = r^4 - \frac{1}{4} r^6 $$

とおき、$r$ で微分すると

$$ \begin{aligned} g'(r) &= 4r^3 - \frac{6}{4} r^5 \\ &= \frac{1}{2} r^3 (8 - 3r^2) \end{aligned} $$

$0 < r < 2$ において $g'(r) = 0$ となるのは $r^2 = \frac{8}{3}$、すなわち $r = \frac{2\sqrt{6}}{3}$ のときである。増減を調べると、このとき $g(r)$ は極大かつ最大となる。

最大値は

$$ \begin{aligned} g\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right) &= \left(\frac{8}{3}\right)^2 - \frac{1}{4}\left(\frac{8}{3}\right)^3 \\ &= \frac{64}{9} - \frac{1}{4} \cdot \frac{512}{27} \\ &= \frac{64}{9} - \frac{128}{27} \\ &= \frac{64}{27} \end{aligned} $$

求める $S$ の最大値はその正の平方根であるから

$$ \sqrt{\frac{64}{27}} = \frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{9} $$

となる。