東京大学 1968年 文系 第3問 解説

方針・初手

与えられた条件 $a+b+c=0$ を用いて文字 $c$ を消去し、$f(x)$ を $a, b$ のみで表す。 そのうえで、求める点の座標を $(X, Y)$ とおき、$X = f(\alpha), Y = f(\beta)$ の連立方程式と考える。 問題文に「$x$ の二次式」とあるため、$x^2$ の係数である $a$ は $a \neq 0$ を満たすことに注意し、$a \neq 0$ を満たす実数 $a$ と、任意の実数 $b$ が存在するための $X, Y$ の条件を求める。文字定数 $\alpha, \beta$ と $1$ との関係による場合分けが必要になる。

解法1

$f(x) = ax^2 + bx + c$ が $x$ の二次式であるから、条件として以下が成り立つ。

$$ a \neq 0 $$

また、$a+b+c=0$ より $c = -a-b$ である。これを $f(x)$ に代入して整理する。

$$ \begin{aligned} f(x) &= ax^2 + bx - a - b \\ &= a(x^2 - 1) + b(x - 1) \end{aligned} $$

求める点の座標を $(X, Y)$ とおくと、$X = f(\alpha), Y = f(\beta)$ より以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} X = a(\alpha^2 - 1) + b(\alpha - 1) \\ Y = a(\beta^2 - 1) + b(\beta - 1) \end{cases} $$

この方程式を満たす実数 $b$ と、$0$ でない実数 $a$ が存在するための $(X, Y)$ の条件を、$\alpha, \beta$ の値によって場合分けして求める。

(i)

$\alpha \neq 1$ かつ $\beta \neq 1$ かつ $\alpha \neq \beta$ のとき

上の連立方程式から $b$ を消去するため、第1式に $(\beta - 1)$ を、第2式に $(\alpha - 1)$ を掛けて辺々を引く。

$$ \begin{aligned} (\beta - 1)X - (\alpha - 1)Y &= (\beta - 1) \{ a(\alpha^2 - 1) + b(\alpha - 1) \} - (\alpha - 1) \{ a(\beta^2 - 1) + b(\beta - 1) \} \\ &= a \{ (\alpha^2 - 1)(\beta - 1) - (\beta^2 - 1)(\alpha - 1) \} + b \{ (\alpha - 1)(\beta - 1) - (\alpha - 1)(\beta - 1) \} \\ &= a (\alpha - 1)(\beta - 1) \{ (\alpha + 1) - (\beta + 1) \} \\ &= a (\alpha - 1)(\beta - 1)(\alpha - \beta) \end{aligned} $$

条件より $(\alpha - 1)(\beta - 1)(\alpha - \beta) \neq 0$ であるから、$a$ について解くことができる。

$$ a = \frac{(\beta - 1)X - (\alpha - 1)Y}{(\alpha - 1)(\beta - 1)(\alpha - \beta)} $$

ここで $a \neq 0$ であるための条件は、分子が $0$ でないことである。

$$ (\beta - 1)X - (\alpha - 1)Y \neq 0 $$

一方、求まった $a$ の値を $X$ または $Y$ の式に代入すれば、$\alpha \neq 1, \beta \neq 1$ より、どのような $(X, Y)$ に対しても実数 $b$ が一意に定まる。 したがって、点 $(X, Y)$ の全体は、直線 $(\beta - 1)x - (\alpha - 1)y = 0$ を除く平面全体となる。

(ii)

$\alpha = 1$ かつ $\beta \neq 1$ のとき

$X, Y$ の式に $\alpha = 1$ を代入すると、以下のようになる。

$$ \begin{cases} X = 0 \\ Y = a(\beta^2 - 1) + b(\beta - 1) = (\beta - 1)\{a(\beta + 1) + b\} \end{cases} $$

ここで $a \neq 0$ であり、$b$ は任意の実数を動くため、$a(\beta + 1) + b$ も任意の実数値をとることができる。 $\beta - 1 \neq 0$ であるから、$Y$ は任意の実数となる。 したがって、点 $(X, Y)$ の全体は、直線 $x = 0$ （$y$軸全体）となる。

(iii)

$\alpha \neq 1$ かつ $\beta = 1$ のとき

（ii） と同様に考えると、以下のようになる。

$$ \begin{cases} X = a(\alpha^2 - 1) + b(\alpha - 1) = (\alpha - 1)\{a(\alpha + 1) + b\} \\ Y = 0 \end{cases} $$

$\alpha - 1 \neq 0$ であり、式中の $b$ は任意の実数をとるため、$X$ は任意の実数となる。 したがって、点 $(X, Y)$ の全体は、直線 $y = 0$ （$x$軸全体）となる。

(iv)

$\alpha = \beta \neq 1$ のとき

$X, Y$ の式において $\alpha = \beta$ であるから、以下のようになる。

$$ X = Y = a(\alpha^2 - 1) + b(\alpha - 1) = (\alpha - 1)\{a(\alpha + 1) + b\} $$

$\alpha - 1 \neq 0$ であり、$b$ は任意であるから、$X$ および $Y$ は $X = Y$ を満たしながら任意の実数値を動く。 したがって、点 $(X, Y)$ の全体は、直線 $y = x$ 全体となる。

(v)

$\alpha = \beta = 1$ のとき

$X, Y$ の式に代入すると、以下のようになる。

$$ X = Y = 0 $$

したがって、点 $(X, Y)$ の全体は、原点 $(0, 0)$ のみとなる。

解法2

ベクトルを用いて視覚的に解くこともできる。 点 $P$ の座標を $(X, Y)$ とおき、位置ベクトルを $\vec{p} = \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$ とする。 $f(x) = a(x^2 - 1) + b(x - 1)$ より、以下のようにベクトルで表せる。

$$ \vec{p} = \begin{pmatrix} a(\alpha^2 - 1) + b(\alpha - 1) \\ a(\beta^2 - 1) + b(\beta - 1) \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} \alpha^2 - 1 \\ \beta^2 - 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} \alpha - 1 \\ \beta - 1 \end{pmatrix} $$

ここで、$\vec{u} = \begin{pmatrix} \alpha^2 - 1 \\ \beta^2 - 1 \end{pmatrix}$、$\vec{v} = \begin{pmatrix} \alpha - 1 \\ \beta - 1 \end{pmatrix}$ とおくと、$\vec{p} = a \vec{u} + b \vec{v}$ となる。 $a \neq 0$ かつ $b$ は任意の実数であることから、このベクトル $\vec{p}$ がどのような領域を動くかを、$\vec{u}$ と $\vec{v}$ の一次独立性によって場合分けして調べる。

$\vec{u}$ と $\vec{v}$ の行列式 $\Delta$ を計算する。

$$ \begin{aligned} \Delta &= (\alpha^2 - 1)(\beta - 1) - (\beta^2 - 1)(\alpha - 1) \\ &= (\alpha - 1)(\beta - 1) \{ (\alpha + 1) - (\beta + 1) \} \\ &= (\alpha - 1)(\beta - 1)(\alpha - \beta) \end{aligned} $$

(i)

$\Delta \neq 0$ のとき（$\alpha \neq 1$ かつ $\beta \neq 1$ かつ $\alpha \neq \beta$）

$\vec{u}$ と $\vec{v}$ は一次独立であるから、$a, b$ がすべての実数を動けば $\vec{p}$ は平面全体を覆う。 しかし、$a \neq 0$ の条件があるため、$\vec{p} = b \vec{v}$ となる直線上には点が存在しない。 $\vec{v} = \begin{pmatrix} \alpha - 1 \\ \beta - 1 \end{pmatrix}$ に平行な直線は、方程式 $(\beta - 1)x - (\alpha - 1)y = 0$ で表される。 よって、この直線を除く平面全体となる。

(ii)

$\Delta = 0$ かつ $\vec{v} \neq \vec{0}$ のとき（$\alpha = 1, \beta \neq 1$ または $\alpha \neq 1, \beta = 1$ または $\alpha = \beta \neq 1$）

$\vec{u}$ は $\vec{v}$ の実数倍となるため、$\vec{p}$ は $\vec{v}$ と平行な直線上を動く。 $a \neq 0$ であっても $b$ が任意に動けるため、$\vec{p}$ はこの直線を過不足なく描く。

• $\alpha = 1, \beta \neq 1$ のとき、$\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ \beta - 1 \end{pmatrix}$ より、$y$軸全体（直線 $x=0$）。
• $\alpha \neq 1, \beta = 1$ のとき、$\vec{v} = \begin{pmatrix} \alpha - 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ より、$x$軸全体（直線 $y=0$）。
• $\alpha = \beta \neq 1$ のとき、$\vec{v} = \begin{pmatrix} \alpha - 1 \\ \alpha - 1 \end{pmatrix}$ より、直線 $y=x$ 全体。

(iii)

$\vec{v} = \vec{0}$ のとき（$\alpha = \beta = 1$）

$\vec{u} = \vec{0}$ となり、常に $\vec{p} = \vec{0}$ となる。 よって、原点 $(0, 0)$ のみとなる。

解説

「$f(x)$ は $x$ の二次式」という指定から、$x^2$ の係数 $a$ が $0$ でないという条件 ($a \neq 0$) を忘れないことが最大のポイントである。 もし $a=0$ を許容してしまうと、$f(x)$ は一次以下の式となり、平面から除外されるべき直線上の点も集合に含まれてしまいる。 式変形から除外される条件を見つける代数的なアプローチ（解法1）と、ベクトルの一次独立性から平面の走査を考える幾何的なアプローチ（解法2）のどちらでも簡明に解くことができる。

答え

座標平面上の $(x, y)$ の集合として、以下のようになる。

• $\alpha \neq 1$ かつ $\beta \neq 1$ かつ $\alpha \neq \beta$ のとき： 直線 $(\beta - 1)x - (\alpha - 1)y = 0$ を除く平面全体
• $\alpha = 1$ かつ $\beta \neq 1$ のとき： 直線 $x = 0$ 全体
• $\alpha \neq 1$ かつ $\beta = 1$ のとき： 直線 $y = 0$ 全体
• $\alpha = \beta \neq 1$ のとき： 直線 $y = x$ 全体
• $\alpha = 1$ かつ $\beta = 1$ のとき： 点 $(0, 0)$ のみ