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東京大学 1968年文系第5問解説

方針・初手

点 $(a, b)$ を出発点として、問題文の指示通りに座標の変換を順に追っていくのが確実な方針である。

直線 $2x - y = p$ に関する対称点 $Q$ を、垂直条件と中点条件から求める。
点 $Q$ を原点中心に $90^\circ$ 回転した点 $R$ を求める。
点 $R$ と元の点 $(a, b)$ が、直線 $x + 2y = q$ に関して対称であるという条件式を立てる。

これらを連立方程式として解き、$a, b$ を $p, q$ で表す。

解法1

点 $P(a, b)$ の直線 $l_1: 2x - y = p$ に関する対称点を $Q(x_1, y_1)$ とおく。

線分 $PQ$ の中点 $\left( \frac{a+x_1}{2}, \frac{b+y_1}{2} \right)$ は $l_1$ 上にあるから、

$$ 2 \cdot \frac{a+x_1}{2} - \frac{b+y_1}{2} = p $$

整理して、

$$ 2x_1 - y_1 = -2a + b + 2p \quad \cdots (1) $$

また、直線 $PQ$ は $l_1$ に垂直である。$l_1$ の方向ベクトルの1つは $(1, 2)$ であり、ベクトル $\vec{PQ} = (x_1 - a, y_1 - b)$ との内積は $0$ となるから、

$$ 1 \cdot (x_1 - a) + 2 \cdot (y_1 - b) = 0 $$

整理して、

$$ x_1 + 2y_1 = a + 2b \quad \cdots (2) $$

(1)

$\times 2 +$ (2) より $5x_1 = -3a + 4b + 4p$ となり、

$$ x_1 = \frac{-3a + 4b + 4p}{5} $$

(1)

$-$ (2) $\times 2$ より $-5y_1 = -4a - 3b + 2p$ となり、

$$ y_1 = \frac{4a + 3b - 2p}{5} $$

次に、点 $Q(x_1, y_1)$ を原点を中心として正の向きに $90^\circ$ 回転した点 $R(x_2, y_2)$ の座標は、$(x_2, y_2) = (-y_1, x_1)$ で与えられる。したがって、

$$ x_2 = \frac{-4a - 3b + 2p}{5} $$

$$ y_2 = \frac{-3a + 4b + 4p}{5} $$

条件より、点 $R(x_2, y_2)$ の直線 $l_2: x + 2y = q$ に関する対称点が $P(a, b)$ に一致する。これは、点 $P$ と点 $R$ が $l_2$ に関して対称であることを意味する。

線分 $PR$ の中点 $\left( \frac{a+x_2}{2}, \frac{b+y_2}{2} \right)$ は $l_2$ 上にあるから、

$$ \frac{a+x_2}{2} + 2 \cdot \frac{b+y_2}{2} = q $$

$$ a + x_2 + 2b + 2y_2 = 2q \quad \cdots (3) $$

また、直線 $PR$ は $l_2$ に垂直である。$l_2$ の方向ベクトルの1つは $(2, -1)$ であり、ベクトル $\vec{PR} = (x_2 - a, y_2 - b)$ との内積は $0$ となるから、

$$ 2(x_2 - a) - (y_2 - b) = 0 $$

$$ 2x_2 - y_2 = 2a - b \quad \cdots (4) $$

求めた $x_2, y_2$ の式を(3)に代入する。

$$ a + \frac{-4a - 3b + 2p}{5} + 2b + 2 \cdot \frac{-3a + 4b + 4p}{5} = 2q $$

両辺を $5$ 倍して整理する。

$$ 5a - 4a - 3b + 2p + 10b - 6a + 8b + 8p = 10q $$

$$ -5a + 15b + 10p = 10q $$

$$ -a + 3b = -2p + 2q \quad \cdots (5) $$

同様に、$x_2, y_2$ の式を(4)に代入する。

$$ 2 \cdot \frac{-4a - 3b + 2p}{5} - \frac{-3a + 4b + 4p}{5} = 2a - b $$

$$ \frac{-8a - 6b + 4p + 3a - 4b - 4p}{5} = 2a - b $$

$$ \frac{-5a - 10b}{5} = 2a - b $$

$$ -a - 2b = 2a - b $$

$$ 3a + b = 0 \implies b = -3a \quad \cdots (6) $$

(6)を(5)に代入して $b$ を消去する。

$$ -a + 3(-3a) = -2p + 2q $$

$$ -10a = -2(p - q) $$

$$ a = \frac{p - q}{5} $$

これを(6)に代入して、

$$ b = -3 \cdot \frac{p - q}{5} = \frac{-3p + 3q}{5} $$

解法2

複素数平面を利用して解く。点 $P(a, b)$ が表す複素数を $z = a+bi$（$a, b$ は実数）とする。

直線 $l_1: 2x - y = p$ 上の点 $w = x+yi$ について、$x = \frac{w+\bar{w}}{2}, y = \frac{w-\bar{w}}{2i} = -i \frac{w-\bar{w}}{2}$ を方程式に代入すると、

$$ 2 \cdot \frac{w+\bar{w}}{2} - \frac{w-\bar{w}}{2i} = p $$

$$ (1 + \frac{i}{2})w + (1 - \frac{i}{2})\bar{w} = p $$

両辺を $2$ 倍して、

$$ (2+i)w + (2-i)\bar{w} = 2p $$

点 $P(z)$ の $l_1$ に関する対称点 $Q(w_1)$ は、直線の対称移動の性質より次の方程式を満たす。

$$ (2+i)w_1 + (2-i)\bar{z} = 2p \quad \cdots (7) $$

点 $Q$ を原点中心に $90^\circ$ 回転した点 $R(w_2)$ は $w_2 = i w_1$ である。$w_1 = -i w_2$ を(7)に代入する。

$$ -i(2+i)w_2 + (2-i)\bar{z} = 2p $$

$$ (1-2i)w_2 + (2-i)\bar{z} = 2p \quad \cdots (8) $$

一方、直線 $l_2: x + 2y = q$ を複素数で表すと、

$$ \frac{w+\bar{w}}{2} + 2 \cdot \frac{w-\bar{w}}{2i} = q $$

$$ (\frac{1}{2} - i)w + (\frac{1}{2} + i)\bar{w} = q $$

両辺を $2$ 倍して、

$$ (1-2i)w + (1+2i)\bar{w} = 2q $$

点 $R(w_2)$ の $l_2$ に関する対称点が $P(z)$ に一致することから、同様に次の関係式が成り立つ。

$$ (1-2i)w_2 + (1+2i)\bar{z} = 2q \quad \cdots (9) $$

(8)と(9)から $w_2$ を消去するため、(9) $-$ (8) を計算する。

$$ \{ (1+2i) - (2-i) \} \bar{z} = 2q - 2p $$

$$ (-1+3i) \bar{z} = 2(q - p) $$

$$ \bar{z} = \frac{2(q - p)}{-1+3i} = \frac{2(q - p)(-1-3i)}{(-1)^2 + 3^2} = \frac{2(p - q + 3(p - q)i)}{10} = \frac{p - q}{5} + \frac{3p - 3q}{5} i $$

$z$ は $\bar{z}$ の共役複素数であるから、

$$ z = \frac{p - q}{5} + \frac{-3p + 3q}{5} i $$

$z = a+bi$ と実部および虚部を比較して、

$$ a = \frac{p - q}{5}, \quad b = \frac{-3p + 3q}{5} $$

解説

図形的な移動（対称移動・回転）を数式に落とし込む処理能力が問われる問題である。解法1のように、地道に中点条件と直交条件から連立方程式を立てて解くのが、試験本番では最も確実なアプローチとなる。方向ベクトルを用いて直交条件を内積で表現すると、傾きの分母が $0$ になるケースを気にせず簡潔に立式できる。

また、本問の直線 $2x - y = p$ と $x + 2y = q$ は法線ベクトルが直交しており、互いに垂直な直線であることが背景にある。複素数平面における直線の対称移動の知識（解法2）があれば、複雑な座標計算を回避して劇的に計算量を減らすことができる。