東京大学 1974年 文系 第4問 解説

方針・初手

与えられた不等式の右辺を $f(x)$ とおき、$y=f(x)$ のグラフ（放物線）の $x$ 軸との交点を求める。右辺をうまく因数分解することで、交点が $\alpha$ と $\alpha-1$ であることがわかる。領域 $A$ と第一象限の共通部分 $B$ の面積を考えるため、左側の交点 $\alpha-1$ と原点 $x=0$ の大小関係（$\alpha$ が $1$ より大きいか小さいか）に注目して場合分けを行い、定積分を計算する。

解法1

不等式 $y \leqq \frac{-1}{\alpha^2}x^2 + \frac{2\alpha - 1}{\alpha^2}x - 1 + \frac{1}{\alpha}$ の右辺を $f(x)$ とおく。

右辺を $-\frac{1}{\alpha^2}$ でくくり、定数項を通分して整理すると、以下のように変形できる。

$$ f(x) = -\frac{1}{\alpha^2} \left\{ x^2 - (2\alpha - 1)x + \alpha^2 \left( 1 - \frac{1}{\alpha} \right) \right\} $$

$$ f(x) = -\frac{1}{\alpha^2} \left\{ x^2 - (2\alpha - 1)x + \alpha(\alpha - 1) \right\} $$

中括弧の中は $(x - \alpha)\{x - (\alpha - 1)\}$ と因数分解できるため、

$$ f(x) = -\frac{1}{\alpha^2} (x - \alpha)(x - (\alpha - 1)) $$

となる。

放物線 $y = f(x)$ は上に凸であり、$x$ 軸との交点の $x$ 座標は $x = \alpha - 1, \alpha$ である。

$\alpha > 0$ より、$\alpha - 1 < \alpha$ はつねに成り立つ。

領域 $A$ はこの放物線とそれより下側の部分であり、$A$ と第一象限（$x \geqq 0, y \geqq 0$）の共通部分 $B$ の面積を $S(\alpha)$ とする。

左側の交点 $x = \alpha - 1$ の符号によって、$y \geqq 0$ となる $x$ の区間が第一象限にどのように含まれるかが変わるため、場合分けを行う。

(i)

$\alpha - 1 \geqq 0$ すなわち $\alpha \geqq 1$ のとき

$0 \leqq \alpha - 1 < \alpha$ となるため、第一象限において $y \geqq 0$ をみたす範囲は $\alpha - 1 \leqq x \leqq \alpha$ である。

したがって、面積 $S(\alpha)$ は次のように計算できる。

$$ S(\alpha) = \int_{\alpha-1}^{\alpha} -\frac{1}{\alpha^2} (x - \alpha)(x - (\alpha - 1)) dx $$

定積分の公式 $\int_{\beta}^{\gamma} (x-\beta)(x-\gamma) dx = -\frac{1}{6}(\gamma-\beta)^3$ を用いると、

$$ S(\alpha) = -\frac{1}{\alpha^2} \left\{ -\frac{1}{6} (\alpha - (\alpha - 1))^3 \right\} = \frac{1}{6\alpha^2} $$

(ii)

$\alpha - 1 < 0$ すなわち $0 < \alpha < 1$ のとき

$\alpha - 1 < 0 < \alpha$ となるため、第一象限において $y \geqq 0$ をみたす範囲は $0 \leqq x \leqq \alpha$ である。

したがって、面積 $S(\alpha)$ は次のように計算できる。

$$ S(\alpha) = \int_{0}^{\alpha} \left( -\frac{1}{\alpha^2}x^2 + \frac{2\alpha - 1}{\alpha^2}x - 1 + \frac{1}{\alpha} \right) dx $$

$$ S(\alpha) = \left[ -\frac{1}{3\alpha^2}x^3 + \frac{2\alpha - 1}{2\alpha^2}x^2 + \frac{1-\alpha}{\alpha}x \right]_{0}^{\alpha} $$

$x = \alpha$ を代入して整理する。

$$ S(\alpha) = -\frac{1}{3\alpha^2}\cdot \alpha^3 + \frac{2\alpha - 1}{2\alpha^2}\cdot \alpha^2 + \frac{1-\alpha}{\alpha}\cdot \alpha $$

$$ S(\alpha) = -\frac{\alpha}{3} + \frac{2\alpha - 1}{2} + 1 - \alpha $$

$$ S(\alpha) = -\frac{\alpha}{3} + \alpha - \frac{1}{2} + 1 - \alpha $$

$$ S(\alpha) = -\frac{1}{3}\alpha + \frac{1}{2} $$

（i）, （ii）より、面積 $S(\alpha)$ を表す関数は以下のようになる。

$$ S(\alpha) = \begin{cases} -\frac{1}{3}\alpha + \frac{1}{2} & (0 < \alpha < 1) \\ \frac{1}{6\alpha^2} & (\alpha \geqq 1) \end{cases} $$

次に、$y = S(\alpha)$ のグラフについて調べる。

$0 < \alpha < 1$ の範囲では、傾きが $-\frac{1}{3}$ で $y$ 切片が $\frac{1}{2}$ の直線の一部である。

$\alpha \geqq 1$ の範囲では、$S(\alpha) = \frac{1}{6\alpha^2}$ は $\alpha$ の増加とともに単調に減少し、$\lim_{\alpha \to \infty} S(\alpha) = 0$ より $\alpha$ 軸を漸近線にもつ。

また、$\alpha = 1$ のときの値は $S(1) = \frac{1}{6}$ であり、左右の式で一致するためグラフはつながっている。

さらに、$\alpha > 1$ における導関数は $S'(\alpha) = -\frac{1}{3\alpha^3}$ であり、$\alpha \to 1+0$ のとき $S'(\alpha) \to -\frac{1}{3}$ となる。これは $0 < \alpha < 1$ における傾きと一致するため、点 $(1, \frac{1}{6})$ においてグラフは滑らかに接続される。

解説

放物線の式に文字定数が含まれる面積の問題である。係数が複雑に見えるが、$x^2$ の係数である $-\frac{1}{\alpha^2}$ で全体をくくることで、きれいに因数分解できることにいち早く気付けるかがポイントとなる。解の公式を用いると計算が非常に煩雑になり、計算ミスのリスクが高まる。

第一象限内の面積を求めるため、放物線の $x$ 切片が正か負かによって定積分の下端が変わる。そのため $\alpha - 1$ と $0$ の大小関係による場合分けが必須となる。グラフを描く際は、場合分けの境界である $\alpha = 1$ での連続性や微分係数の一致（滑らかさ）、および極限（漸近線）を意識して特徴を捉えることが重要である。

答え

面積を $\alpha$ の関数として表すと、

$$ S(\alpha) = \begin{cases} -\frac{1}{3}\alpha + \frac{1}{2} & (0 < \alpha < 1) \\ \frac{1}{6\alpha^2} & (\alpha \geqq 1) \end{cases} $$

グラフは横軸を $\alpha$ 軸、縦軸を面積 $S(\alpha)$ としたとき、以下の特徴を持つ概形となる。

• $0 < \alpha < 1$ の区間では、点 $(0, \frac{1}{2})$ （白丸で含まない）と点 $(1, \frac{1}{6})$ を結ぶ線分。
• $\alpha \geqq 1$ の区間では、点 $(1, \frac{1}{6})$ を端点とし、$\alpha$ 軸（$S=0$）を漸近線として単調減少する曲線 $S = \frac{1}{6\alpha^2}$。
• 点 $(1, \frac{1}{6})$ において、直線部分と曲線部分は共通の接線の傾き $-\frac{1}{3}$ をもち、滑らかにつながる。